Da Vinci Şifresi – The Da Vinci Code

Kitabı okumamama rağmen film uzun süredir konuşulduğu için gitmeye karar verdim. Son zamanlarda dünyada bazı Hristiyanların filmi protesto etmesi ise merakımı iyice celbetti ve geçen hafta sessiz sakin, tek başıma filme gittim. Hani Hristiyanların protesto ettiği kadar varmış. Hemen başında belirteyim, film için iki ayrı düşüncem var. Bu yüzden net olarak “beğendim” ya da “beğenmedim” diyemiyorum.

Öncelikle film kiliseyi deli gibi eleştirmiş. Eleştiri noktası ise Hz. İsa’nın soyunun devam edip etmeme ve ilah olup olmama konusu. Tabi film bu gibi olguları eleştirdiği için bazı Hristiyan gruplarından tepki alması normal. İşte benim beğendiğim nokta burası, artık birileri çıkıp da “Hz. İsa ilah değil, o bizim içimizden bir insan” diyebiliyor. Ancak her ne hikmetse film boyunca ben “prophet” yani peygamber kelimesini duyamadım! Evet arada sevgili kahramanımız Robert Langdon (Tom Hanks) “ya o ilah değil de sıradan bir insansa ve o haliyle mucizelerini gerçekleştirdiyse” türünden bir replik fırlatıyor ancak nedense net olarak “o bir peygamberdi ancak ilah değildi” türünden bir ifade kullanılmıyor. Bu noktada yönetmenin nereye varmak istediğini anlayamadım doğrusu.

Daha çok Hz. İsa’nın soyu üzerinde durulmuş. Kısacası Hz.İsa öldüğünde Magdalalı (Mecdelli) Meryem kendisine hamiledir ve O öldükten sonra çocuğunu doğurur. Hz. İsa ise kendisinden sonra Magdalalı Meryem’in yerine geçmesini ister! ancak haliyle kilise bunu onaylamaz ve hikayemiz gelişir. Arada haliyle “Kutsal Kase” meselesi de Da Vinci yorumuyla açıklanmış. Daha fazla detay vermek istemiyorum zira filmi izlemeyenler bana kızacaktır :-) .

Filmde hoşuma gitmeyen iki nokta ise şunlar. İlk olarak “kadın” ve “seks” imgesi tanrıya varma olarak nitelendiriliyor ve “kutsal dişilik” meselesine atıfda bulunuluyor. İkinci olarak ise her ne hikmetse Tarikat uzantılarını meşru gösteriyor, hatta Tapınak Şövalyelerinin Haçlı Seferlerini yapmalarını saçma sapan bir sebebe bağlıyor.

Filmin konusu dışında beni hayal kırıklığına uğratan bir başka nokta da Tom Hanks ve Audrey Tautou’nun beklediğimden düşük çıkan performansı oldu. Açıkçası ikisinin yerine kim olsa o film yine yürütülürmüş dedim kendi kendime. Bunun sebebi kendilerinden kaynaklanmıyor, bence oynadıkları roller o kadarına müsade ediyor. (Bazılarının hemen “yuh Sophie Neveu rolü bu kadar mı hafif” dediğini duyar gibiyim ama evet öyle o kadar hafif kalmış filmde.) Zira ikisinin de ne kadar iyi rol kestiğini çok iyi biliyoruz. Tom Hanks’e örnek vermeye gerek yok, Tautou için de “Amelie” demek yeterlidir sanırım. Filmde performansını beğendiğim iki aktör ise “farklı” bir role bürünen Paul Bettany (Silas) ve Sir Leigh Teabing rolündeki Ian McKellen. İkisi de işini iyi kıvırmış.

Filmden kısacası şu çıkar: Hz.İsa-ilahlık, soy meselesi! (birileri çıkmasın şimdi), kiliseye vur kazan (acaba vurmakta haksızlar mı?).

Gitmeseydim bir şey kaybeder miydim diye düşündüğüm bir başka film….

Bu yazıları RSS beslemesi ile takip edin

Çevremde gördüğüm kadarıyla genellikle “centrino” kavramı yanlış bilinmekte. İnsanların bir çoğu centrinoyu dizüstü bilgisayarlarında kullandıkları işlemci olarak biliyorlar. Ben de bu kavram üzerinde okuduklarıma binaen biraz bilgi vereyim istedim.

Intel Centrino ismini öyle güzel ön plana çıkarttı ki, bir anda dizüstü bilgisayar piyasasında centrino ismi kasıp kavurmaya başladı, ancak eksik bilinerek. Intel’in 2003 yılında görücüye çıkarttığı centrino bir işlemci değil aslında bir platformun ismi. Bu platformda ise 3 yapı bulunmakta:

• İşlemci
• Yonga seti
• Kablosuz ağ adaptörü

Kısaca dizüstü bilgisayarınızın centrino platformunda olması için bu 3 bileşenin de makinenizde mevcut olması gerekmekte.

İlk Centrino
Centrino ilk çıktığı günden bu güne kadar çok yol kat etti. 2003 yılında piyasaya sunulan centrino platformunda temelleri Pentium3′e dayanan Banias kod adlı Pentium M işlemci, Intel’in dizüstü bilgisayarlar için hazırladığı yonga seti olan 855 serisinden bir yonga seti ve yine Intel PRO/Wireless 2100 ya da 2200 tipinde bir kablosuz ağ adaptörü mevcuttu. Banias 1 MB tampon belleğe ve 130 nm. üretim teknolojisine sahipti.

Hemen bir satır arası yapalım. Bu bahsedilen nm (nanometrenin kısa ismidir) şu anlama gelir. İşlemciler bilindiği üzere transistörlerden meydana gelir. İşte bu transistörler arasındaki mesafe nanometre olarak hesap edilir. Nanometre (diğer adıyla milimikron) milimetrenin milyonda biridir. İşlemci teknolojisinde bu mesafe ne kadar kısa olursa o kadar yol kat edilmiş demektir.

Güncellemeler
Centrino günümüze kadar her sene kendini yenileyerek geldi. İlk güncelleme 2004 yılının ortalarında oldu. Burada değişen tek bileşen işlemci oldu. Pentium M’nin yeni teknolojisi 90 nanometreye çekildi ve tampon bellek 2 MB’ye çıkartıldı. Artık bu yeni işlemcinin kod adı Dothan’dı. Dathon çok başarılı bir sıçrama oldu ve neredeyse masaüstü sistemlerle performans açısından yarışacak seviyeye geldiler.

İkinci güncelleme 2005′in başında oldu. Artık yeni platformun ismi Sonoma olmuştu. Bu büyük ölçekli bir güncellemeydi zira hem işlemci veriyolu hızı 400 MHz’den 533 MHz’ye yükseltilmiş, hem de kullanılan yonga seti 855′ten 915 serisine geçilmişti. Ayırca bu platformla beraber ilk defa dizüstü bilgisayarlarda DDR2 bellek kullanılıyordu. DDR2 bellekler 2.5 volt ile çalışan DDR belleklerden daha az gerilim çekerek -1.8 volt- pil ömrüne ciddi katkılar sağlıyordu. Şu anda piyasada bulunan bir çok dizüstü Sonoma platformundadır.

Yeni platform

2006 yılında ise çok daha büyük bir sıçrama oldu. Platform tüm bileşenlerini değiştirerek yeni bir isim aldı; Napa. Aynı zamanda yıllardır değişmeden kalan Centrino ismi de artık değişiyor ve ikiye ayrılıyor; Centrino Duo ve Centrino Solo.

Artık yeni kullanılan işlemciler Pentium M değil, bunun yerine kullanılan işlemci Core ismini taşımakta. İşlemcinin tek çekirdekli tipine Core Solo, çift çekirdek taşıyanına ise Core Duo ismi verilmekte. Core işlemcisi 65 nanometre teknoloji ile üretilmekte. İşlemci çift çekirdekli olmasına rağmen taşıdığı uyku modu sayesinde (C4 Deeper Sleeper) öngörülenden daha az güç tüketmekte.Bu Dothan’dan bile daha düşük. Yeni işlemci 2 MB tampon belleğe sahip ve SSE2′ye ek olarak SSE3 komut setini de desteklemekte. Çift çekirdekli işlemcilerde bu tampon bellek ortak kullanılmakta. Çekirdeklerden biri gerek duyuyorsa tampon belleği istediği kadar kullanabiliyor, haliyle her çekirdeğin tampon belleği kendine özel ayrılmış değil. Ayrıca tek çekirdekli Coro Solo’da da 2 MB tampon bellek bulunmakta.

Bu platformdaki yeni işlemcinin kod adı Yonah ve veriyolu hızı 533 yerine 667 MHz. Yonga seti olarak 945G kullanılmakta ve kullanılan DDR2 çift kanal erişimli. Böylece DDR2 bellek de 667 MHz kullanabilmekte. Eski işlemciler çalışma hızlarını 800 MHZ’ye kadar çekebiliyorken Yonah’da ise bu hız en düşük 1000 MHz. 945G yonga setine fazladan söylenebilecek bir kaç şey de kullanılabilen bellek miktarının üst sınırının 2GB’den 4GB’ye çıktığı ve grafik işlemcisinin 333 değil 400 MHz’de çalışabiliyor olması. 945g model olarak ikiye ayrılıyor: 945GM ve 945PM. PM’de dahili bir grafik çekirdeği bulunmuyor, tek fark bu.

Yeni platformdaki bir başka değişiklik de kablosuz ağ adaptörünün 3945G’ye terfi etmesi. Bu adaptörün asıl ismi ise 3945ABG. Adından da anlaşılabileceği gibi bu adaptör 3 iletişim standardını da desteklemekte. Tek kart ile 802.11a, 802.11b ve 802.11g tipindeki ağlara bağlanabilirsiniz.

Burdaki önemli bir ayrıntıda yeni kartın eski kartlatda olduğu gibi sisteme MiniPCI slotu üzerinden bağlanmaması. Yeni kartlar artık PCI Express Mini Card tipinde. Ayrıca bu kartla beraber dizüstlerine yeni bir olgu daha geliyor. WoWLAN ya da uzun haliyle Wake-on-WirelessLAN. Kısacası bilgisayarınızı kapalıyken kablosuz bir ağ üzerinden uyandırabileceksiniz.

Peki yeni platform ne getiriyor?

Öncelike ilerde sıkça dizüstü bilgisayarlarda görmeye alışacağımız bu platform, bize performans olarak katkı sağlayacak. Bu performans artışına rağmen daha az güç tüketiliyor ve pil ömürleri artıyor. Sonuçta bilgisayarınızda iki işlemci olmasa da iki çekirdek taşıyan bir işlemciniz oluyor.

Peki değiştirmeli miyim?

Eğer elinizdeki dizüstü size yetiyorsa, hala performansından şikayetçi değilseniz (hele hele bir Sonomaya sahipseniz) şu an için değiştirmenin lüks olacağını şahsım adına rahatlıkla söyleyebilirim. Ancak eğer bir dizüstü sahibi değilseniz bu yeni platformu mutlaka göz önünde bulundurun.

Kaynak: İnternet ve büyük ölçekde HardwarePLUS dergisi.

İnsanın aklı hayali almıyor, eğer dünyamız bu haldeyse biz nasılız acaba?

Üzerinden henüz bir sene geçmeden (25 Aralık 2005) 42. Mersenne asalından sonra 43.Mersenne asalı da bulundu.

GIMPS (Greate Internet Mersenne Prime Search) projesi 43. bilinen Mersenne asal sayısını buldu. Bulanlar ise Central Missouri Devlet Üniversitesinde profesör olan Drs. Curtis Cooper ve Steven Boon.

Kısaca anlatmak gerekirse Mersenne sayıları şöyledir; 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, … olarak devam eden M_n = 2ⁿ – 1 şeklindeki sayılardır. İşin ilginç tarafı n. Mersenne sayısı ikilik (binary) düzende gösterildiğinde n tane 1′den oluşan sayılardır.

Örneğin: M₇ = 2⁷ – 1 = 127 = 1111111₂

bir Mersenne sayısıdır. Mersenne asalı ise hem Mersenne sayısı olup hem de kendisi bir asal olan sayıdır. Yeni bulunan Mersenne asalı 2^30,402,457 – 1 = 31541647561884608093…11134297411652943871 sayısı olup 9,152,052 basamağa sahiptir. Bu en büyük Mersenne asalı olmasının yanında bilinen en büyük asal sayıdır. Kısacası en büyük Mersenne asalı bulunurken en büyük asal sayı da bulunmuş oldu.

Bu bulunan sonuncusu dahil bilinen en büyük 8 Mersenne asalını GIMPS katılımcıları bulmuştur.

Kaynak: http://mathworld.wolfram.com/news/2005-12-25/mersenne-43/

Daha fazla bilgi: http://www.mersenne.org/

Geçenlerde e-mailime gelen bir yazıyı aynen geçiyorum, belki size de geçmişlerdir. Gerçekliği tartışılabilir ancak benim içimdeki ses doğru olduğunu söylüyor…

NEŞE DÜZEL

NEDEN? Uğur Dolgun

Hayatta her şeyin bir artısı ve eksisi var. Bir yandan hızlı teknolojik gelişmeler, bilgisayarlar, uydular, cep telefonları, internet, e-mail hayatımızı kolaylaştırırken, bir yandan da bu sistemler yüzünden büyük bir gözetim ağının denetimi içine giriyoruz. Yazdığımız her kelime, neredeyse yaptığımız her hareket, her konuşmamız, hatta alışverişlerimiz, sağlık kayıtlarımız, devletlerin ve bazı şirketlerin özel arşivlerinde birikiyor. İstedikleri anda bütün hayatımız, kişiliğimiz, ilişkilerimiz hakkındaki en mahrem bilgileri bile ortaya çıkarıyorlar. Özellikle son yıllarda dünyayı saran terör korkusu, devletlerin hem birbirlerini hem de bütün insanları izlemelerini meşrulaştırdı. Türkiye’de de yürürlüğe girecek yeni Terörle Mücadele Yasası bu büyük gözaltıyı daha da genişletip meşrulaştıracak. Bir anlamda herkesi, mahremiyetine girilmiş bir halde çırılçıplak bırakan bu elektronik gözetimin ne boyutlara ulaştığını, nasıl yapıldığını, ‘Enformasyon Toplumundan Gözetim Toplumuna’ ve ‘İşte Büyük Birader’ kitaplarını yazan Çanakkale 18 Mart Üniversitesi öğretim üyesi Yard. Doç. Uğur Dolgun’la konuştuk.

Kitabınızda anlattığınıza göre bizi özgürleştiren bütün o aletler, bilgisayarlar, e-mailler, cep telefonları aynı zamanda bizi büyük bir denetimin içine sokuyor. Gerçekten her haberleşmemiz anında kayıtlara geçiyor mu?
Evet her türlü haberleşme anında kayıtlara geçiyor. Özellikle 11 Eylül saldırılarından sonra bütün dünyada özgürlüklerin teröristlere çok fazla imkân tanıdığı görüşünden hareketle çeşitli anti terör yasaları çıkarıldı ve kişilerin sürekli izlenmelerinin yolu daha da açıldı. Mesela Amerika’da, internet üzerinden yapılan her türlü yazışmanın, e-mail’lerin bir yıl süreyle saklanması kanunen zorunlu kılındı. Ayrıca cep telefonlarıyla yapılan mesajlaşmalara da istenildiği anda ulaşılıyor. Çünkü bu yazışmalar da cep telefonu hizmeti veren şirketlerce saklanıyor.

Kişi o anda internete bağlı değilse bile bilgisayarında yaptıkları ve yazdıkları da izlenebiliyor mu?
Tabii. Bilgisayarlarda ‘arka kapılar’, denilen teknolojik olarak zayıf bırakılmış sistemler var. Siz bir kez internete girdiğinizde, Windows sistemi otomatik olarak çalışıyor ve bu arka kapılar yoluyla bilgisayarınızı ele geçiriyor. Siz ondan sonra bir daha internete girmeseniz bile bilgisayarınızda tüm yazdıklarınız izlenebiliyor. Aynı şey cep telefonları için de geçerli. Dinlenmeyi engellemenin tek yolu pili ayırmak.

Cep telefonları sinyal yaydığı için bu anlaşılabilir ama bilgisayarlar sinyal yaymıyor ki, internete bağlı olmadıklarında izlenebilsinler. Bu nasıl mümkün oluyor?
İzlenmeniz için internete bir kez girmiş olmanız yeterli. Bu bağlantı, bilgisayarınızı, diyelim ki bir istihbarat servisinin sistemiyle entegre hale getiriyor. Arka kapılar yoluyla bilgisayarınız sistem tarafından ele geçiriliyor ve kendi uygulamalarını bilgisayarınıza kuruyor. Sonrasını da artık uydular aracılığıyla hallediyor. Mahremiyetinizi korumanın tek yolu çift bilgisayara sahip olmanız ve internete hiç bağlanmadığınız bilgisayarınızda özel yazılarınızı yazmanız. Rusya, Çin, Fransa, Almanya Microsoft’u devlet dairelerinde ve orduda yasakladı. Başka sistem kullanacaklar. Devletler kendilerini böyle savunuyor ama vatandaşlar bu kez de Windows yerine başka bir sistemle gözetlenecekler.

Yeryüzünde milyarlarca cep telefonu, 1 milyar kadar da internet kullanıcısı var. Bütün bu bilgiler nasıl kaydedilip izlenebiliyor?
Amerika’nın dünyanın en gelişmiş istihbarat örgütü olan NSA diye bir ulusal güvenlik ajansı var. Yabancı diplomatları ve askeri ataşeleri dinlemek için kurulmuştu ama NSA bugün yeryüzünde telefon, faks, bilgisayar, internet dahil her türlü yazışmayı ve konuşmayı izliyor. İsterse sizi de, beni de dinleyebilir. Bunun için Promis ve Echelon sistemlerini kullanıyor. Bu sistemler her gün uydulara 50′den fazla anahtar kelime, kavram yüklüyor. İçinde bu kelimelerin geçtiği her türlü konuşma otomatik olarak izlenmeye alınıyor. Sonra insansı yargılar yapabilen akıllı bilgisayar sistemleri devreye giriyor ve bu konuşmaları ayıklıyor. Önemsiz görülenler imha ediliyor. En önemliler analizciler tarafından raporlaştırılıp ilgililere sunuluyor. NSA’da her gün 40 ton evrak atılıyor.

Dünyanın bütün istihbarat örgütleri, dünyadaki bütün haberleşmeleri kontrol ediyorlar mı?
Amerika, İngiltere ve İsrail kontrol ediyor. Çünkü uydularla bilgisayarları birlikte kullanan Promis ve Echelon sistemini yaratanlar onlar. Diğer ülkelerin istihbarat örgütleri ellerindeki teknoloji yeterli olmadığı için dünyadaki bütün haberleşmeleri kontrol edemiyor. Öcalan’ın cep telefonuyla konuşurken yakalanması bu sistemlerin kullanılmasına örnektir. Echelon ve Promis’te kişinin konuşmasını uyduya yüklüyorsunuz. Sonra uydular konuşmaları uzaydan alıyor ve bilgisayara gönderiyor. Bilgisayar da kişinin koordinatlarını saptıyor. Öcalan’ın da konuşması uyduya yüklendi. Sonra sadece telefonla konuşması beklendi. Konuştuğu anda, sistem ses tanımını yaptı ve Öcalan’ın yeri milimetrik saptandı. Dudayev de böyle yakalandı. Rusya Çeçen lideri yakalayamıyordu. ABD, onun yerini cep telefonuyla konuşurken belirledi ve Dudayev telefonla konuşurken füzeyle öldürüldü.

Promis ve Echolon programlarını birlikte geliştiren MOSSAD ile Amerikan ulusal güvenlik ajansı NSA, bu programları dünyanın diğer istihbarat örgütlerine de satmışlar. Bizim istihbarat örgütünde de var mı bu programlar?
Evet var. Rusya, Japonya, Almanya, Türkiye dahil bütün ülkelere, bu programların eski teknolojisi satıldı. Arka kapılarla da bu ülkelerin istihbarat örgütlerindeki bütün bilgiler Amerika’nın eline geçti. Amerika, bu yolla diğer ülkelerin istihbarat örgütlerini izledi. O ülkelerin planlarını, komşu devletlerle ilişkilerini, yöneticilerin konuşmalarını gözetledi. Amerika ve İsrail, yarattıkları bu programlarla bütün dünyayı izleyebiliyorlar.

Bunlar engellenemiyor mu?
Bunu engelleyecek bir program bulursunuz ama sizin şifreleme programınız şifre kırıcılar tarafından her zaman aşılır. Uydular var olduğundan beri her şey, her kişi çok rahat kontrol ediliyor. Çünkü her türlü yazışma ve doküman artık bilgisayarlarda bulunuyor. Bilgisayarların uydularla korelasyonu olduğu için elektronik ortamda her kişi, her ülke artık kontrol edilebiliyor. Ülkeler sistemlerini değiştirseler bile girilemeyecek bir sistem yok. Pentagon’un sitesine bile girildi.

E-mail’lere dönelim. Gönderdiğimiz bütün e-mail’lerin kayıtları bir yerlerde saklı mı?
Tabii ki. Dünyada internet üzerinden yapılan tüm yazışmalar, e-mail’ler Amerika’da ‘root server’ denilen 13 tane kök bilgisayardan geçiyor. Tüm interneti Amerika’daki bu 13 kök bilgisayar yönetiyor. Ayrıca Amerika, 11 Eylül’den sonra getirdiği antiterör yasalarıyla, tüm internet servis sağlayıcılarının kendilerindeki yazışmaları bir yıl süreyle saklamalarını ve istendiği takdirde bunları Emniyet ve istihbarat örgütlerine vermelerini zorunlu kıldı. Yani, bilgisayar üzerinden yapılan her haberleşme kayıtlara geçiyor ve mahremiyetine bakılmaksızın istenildiğinde de aleyhinize kullanılıyor. Mesela Türkiye’de de internete servis sağlayıcılar üzerinden bağlanıyorsunuz. Ne kadar süreyle olduğu bilinmiyor ama bütün yazışmalar ve e-mailler bunlarda saklı. Hatırlarsınız, üç yıl önce Doğu Perinçek, eski AB Türkiye temsilcisi Karen Fogg’un bazı gazetecilerle yazışmalarını deşifre etmişti. Şunu da söylemek lazım. Eğer kişi e-mail’lerini özel olarak şifrelemiyorsa…

Ne olur?
Biraz bilgisayar ve internetle uğraşan biri bile, bilgisayar yazılımı okuyan üniversite üçüncü sınıf öğrencisi bile bir başkasının e-mail’lerine girebilir. Bu, yapılan bir şey. İnsanların mahremiyetine girmek çok basitleşti. Kişilerin ve şirketlerin mahremiyetine, ülkelerin bilgilerine kolayca tecavüz ediliyor. Türkiye’de bazı şirketler var.

Ne şirketleri bunlar?
Sizin adınıza rakip şirketin bilgisayarlarına giriyor ve size bilgileri veriyor. Şirketler için olduğu gibi, kişiler hakkında da böyle bilgi edinebilirsiniz. Günümüz bilgi toplumunun en büyük sorunu kişilerin mahremiyetine ve özgürlüklerine yönelik tecavüzlerdir. Bu tecavüzü de istihbarat örgütleri, özel şirketler veya kişiler yapar. Geçenlerde internette bir ilan vardı. Bir Türk şirketi ‘Bilgi bankamda 800 bin kişinin mail adresleri var, bunları satıyorum’ diyordu. İstanbul’da bu işi yapan 17 şirket var. İnternette kişiler hangi siteleri geziyor. Nerelerde surf yapıyor, internetten ne satın alıyor artık bu bilgiler de kişi profilleri halinde çıkarılmaya başlandı. Böylece sizin internette yaptığınız her işlem, ziyaret ettiğiniz siteye kadar her şey bazı servis sağlayıcılarca gözetleniyor.

Hangi amaçla gözetleniyor?
Bu bilgiyi ister istihbarat servislerine sağlarsınız, ister büyük şirketlere pazarlarsınız. Mahremiyetler ve bireysel özgürlükler elektronik gözetimle ortadan kalkıyor. Ticari yaşam ve sanayi dünyası istihbarat oyununun bir alanı haline geliyor. Amerika’da 11 Eylül’den sonra çıkarılan antiterör yasaları şu gerekçeye dayandırılmıştı. ‘Şimdi savaş durumu var. Kişisel özgürlüklerden, mahremiyetlerden savaş koşullarına özgü olarak taviz verilebilir’ denildi ve totaliter rejime dönük uygulamalar gündeme geldi. İngiltere’de de terör kanunları yürürlüğe girdi.

Türkiye’de de yeni bir terörle mücadele kanunu çıkarılıyor.
Dünyanın her yerinde aynı. İnsanlar terör korkusuyla öyle bir paranoya ortamına girdiler ki, gözetlenmeye razı oldular. Bunun hukuki altyapısı antiterör yasalarıyla oluşturuluyor işte. Zaten Huxley, Orwell gibi kara ütopyacıların söylediği de buydu. Terör insanlarda öyle korku yaratacak ki, insanlar güvenlik kaygısıyla gözetlenmeyi sonunda olağan karşılayacak ve totaliter sistemlere kayılacak. Bugün dünyanın en fazla kamerayla donatılmış ülkesi İngiltere. Londra’da bir yabancı ‘olağan şüpheli’ sayılarak, günde ortalama 300 kez kameraya alınıyor.

Amerika’da e-mail’lerin bir yıl saklandığını söylediniz. Türkiye’de e-mail’ler nasıl saklanıyor?
Türkiye’de bu konuda bir yasa yok ama sabit veya cep, telefonların hepsi kaydediliyor ve bütün bu kayıtlar saklanıyor. Bir siyasi parti cep telefonu konuşmalarına dayanılarak kapatılmak istenmişti hatırlarsanız. Türkiye’de elektronik gözetim gittikçe yoğunlaşıyor. EMASYA diye bir uygulama var. Artık her şehirdeki askeri karargâhta istihbarat birimi kuruluyor. Ayrıca Emniyet’in, MİT’in, askeriyenin ve jandarmanın da istihbarat birimleri var. Öte yandan derin devlet boyutuna giren bazı özel istihbarat birimleri de var.

Teknolojik ürünlerden yararlanan herkes büyük bir denetim ağının içinde mi bu durumda?
Eğer teknolojiyi kullanıyorsanız, gözetimin pençesindesiniz. Devletin, istihbarat örgütlerinin, derin devletin, illegal birimlerin, özel şirketlerin, tüketici profili üzerine çalışan pazarlama şirketlerinin sürekli gözetimi altındasınız. Olay bu kadar net. Türkiye’nin her zaman çeşitli korkuları vardır. Bu korkular yüzünden bu ülkede belli gruplar, kişiler sürekli izleniyor ve her yaptıkları raporlanıyor. Zaten devletlerin her zaman bir ulusal güvenlik kaygıları olmuştur. Zararlı ve tehlikeli gördükleri vatandaşlarını izlemişlerdir. Soğuk Savaş döneminde Amerika’nın Türkiye’de bilinen 13 üssü vardı. Doğu Bloku çökünce, Amerika bu istasyonların bazılarını boşalttı ve buralarda kullandığı Promis sistemini Türkiye’ye hibe etti. Teknolojisi geride kaldığı için Türkiye bunu uluslararası istihbaratta kullanamıyor ama bu sistemle kendi vatandaşını, telefonları, faksları, bilgisayarları, interneti izliyor.

İstihbarat örgütlerinin kullandığı Promis ve Echelon bilgisayar programları tam olarak nedir?
İnsanlara ait bilgiler elektronik ortamda farklı yerlerde olur. Diyelim ki sizin nüfus, vergi ve doğalgaz idarelerinde, işyerinizde kayıtlarınız var. Promis, bu farklı ortamları ve kişilere ait bölük pörçük bilgileri bir araya getiriyor, depoluyor ve bunlardan insansı yargılar çıkarıyor. Mesela hangi evlerde su kullanımı arttı, hangilerinde azaldı saptıyor ve bundan şu evdeki insan, bu eve geçti gibi sonuçlar çıkarıyor. İsrail, Promis’i Filistin’de çok kullandı. Filistinli teröristler eylem için bazı evlerde bir araya geliyorlardı. İsrail su kullanımı artan hanelerde yoğun gözetime gitti. Yani Promis, bir istihbarat servisinin veya devletin sizinle ilgili hangi bilgilere ihtiyacı varsa hepsini sağlıyor. Bilgisayarınızda sakladığınız dosyalardan yazışmalarınıza, internette gezindiğiniz sitelerden kredi kartıyla alışverişlerinize, sağlık durumunuza, psikolojinize kadar insanın günlük yaşamında akla gelebilecek her şeyi kontrol ediyor. Zaten gözetim toplumu dediğimiz de insanın gündelik yaşamındaki rutinlerin bile belli güçlerin eline geçmesidir.

Peki Echelon programı nedir?
En gelişmiş izleme sistemi olan Echelon’un Türkiye dahil, dünyada birçok ülkede uydu trafiğini izleyen antenleri var. Bu programın sahipleri,
Amerika, İsrail ve İngiltere. Uydu-bilgisayar korelasyonu sayesinde görüntü istihbaratı da var bu programda. Uydularla yerini belirlediğiniz kişinin koordinatlarıyla görüntü alıyorsunuz. Amerikalı kuramcılar, gece saatinde siyah tenis topunun yerinin bile uydularla saptandığını söylüyorlar.

Ellerinde bu kadar gelişmiş, ürkütücü izleme araçları varken Bin Ladin’i nasıl bulamıyorlar?
Bulamamak mümkün değil. Bulmak istemiyorlar. Red Kit her defasında Daltonları yakalar ama hiç öldürmez. Çünkü sonraki maceralarda Daltonlara ihtiyacı vardır. Bugünkü güvenlik sistemin, istihbarat servislerinin devamlılığı sağlamak için hep düşmanlara ihtiyaç var. Eğer Bin Ladin güvercinlerle haberleşmiyorsa yerini her zaman bulmak mümkün. Uydular dünyayı izleyen gözler, kulaklar oldu artık.

Bu ‘büyük gözaltı’ndan kurtulmak mümkün mü?
Kişiler veya sistem, teknolojiyi kullandığı sürece kurtulmak mümkün değil. Üstelik teknoloji sürekli ilerlediği ve yeni nesiller de teknolojiye daha bağımlı yaşadıkları için bu büyük gözaltı çok daha artacak. Gözetim toplumunda milat 11 Eylül’dür. 11 Eylül’den önceki döneme ‘enformasyon-bilgi toplumu’ diyorduk. Şimdi ‘gözetim toplumu’ diyoruz. Terör paranoyası insanların mahremiyetlerini ve özgürlüklerini yok ederek egemen güçlerin önündeki engelleri kaldırıyor.

Aslını söylemek gerekirse bu bir paradoks değildir fakat sezgiye en ters düşen olasılık problemlerinden biri olduğu için bu şekilde adlandırılır olmuş diyebiliriz. Hemen konumuza geçelim.

23 kişilik bir grup olduğunu düşünün. Bu 23 kişiden herhangi ikisinin aynı günde doğmuş olma ihtimali sizce kaçtır.  İnsanların aklına genelde ilk olarak düşük bir ihtimal geliyor. Daha sonra cevabı duyduklarında ise çok şaşırdıkları için sanki ortada bir paradoks varmış gibi düşünülüyor. Akla düşük bir ihtimal gelmesi normal gibi çünkü insan sayısı 23, doğum günü olabilecek gün sayısı ise 365 olduğunda göre, aynı doğum gününün paylaşılıyor olması çok az muhtemel görünüyor. Bir tahmin yapması istenecek kişilerin çoğu, buna bakarak en fazla %10 derlerdi. Oysa doğru cevap %50′den biraz fazla. Yani olasılık hesabına göre bu 23 kişilik gruptan herhangi iki kişinin aynı günde doğmuş olma ihtimali, böyle olmaması ihtimalinden biraz daha yüksek.

Bu yüksek olasılığın nedeni şu: Kişi sayısından çok, bu kişilerin kaç şekilde eşleştirilebileceği önemli. Ortak doğum günü arıyorsak bireylere değil insan çiftlerine bakmalıyız. Bu grupta gerçi sadece 23 kişi var ancak insan çifti sayısı tam 253. Örneğin ilk ilk kişi diğer 22 kişiden herhangi biriyle eşleşebilir, böylece elde daha baştan 22 eşleşme var demektir. Sonra ikinci kişi de geri kalan 21 kişi ile işleşebilir (bu ikincinin birinci kişiyle eşleşme durumunu saymıştık, dolayısıyla olası eşleşmelerin sayısı bir azaldı). Böylece hesaba 21 eşleşme daha eklendi. Üçüncü kişiye gelince, o da geri kalan 20 kişiden herhangi biriyle eşleşebilir, etti 20 eşleşme daha. Hesaplamayı bu şekilde devam ettirdiğimizde, 253 olası çift olduğu sonucuna varırız. Gruptaki sayı 23 olduğunda bu şekilde, eğer sayı 23 değil de 30 olursa aynı doğum gününü paylaşma olasılığı daha da artıyor.

n   —>    p(n)
10 —>   12%
20 —>   41%
30 —>   70%
50 —>   97%
100 —>  99.99996%
200 —>  99.9999999999999999999999999998%
365′e eşit veya büyük olduğunda %100.

Görüldüğü gibi sayı 50 olduğunda çok yüksek bir ihtimalle aynı doğum gününü paylaşan iki insan bulunmakta. Sayı 100 olduğunda ise neredeyse bu kaçınılmaz oluyor. 365′e eşit ve büyük olduğunda ise durum %100 oluyor. Peki bu hesap nasıl yapılıyor?

Meseleye tersten yaklaşalım. Eğer grupta iki insan olsaydı bunların aynı doğum gününü paylaşma ihtimali 1/365 veya yaklaşık olarak 0.003 olur. Eğer grupta 3 insan olursa en az ikisinin aynı doğum gününü paylaşma olasılığı kaç olur? Bunu bulurken şunu anlamalıyız: Bu 3 kişiden en az ikisinin aynı günde doğma ihtimali + 3 kişinin de farklı günde doğmuş olma ihtimali = 1′dir.Yani

P(en az iki kişinin aynı günde doğma ihtimali ) = 1 – P(üç kişinin de farklı günde doğma ihtimali)

Hepsinin farklı günde doğmuş olma ihtimali (364/365).(363/365) ‘tir. Haliyle en az iki kişinin aynı günde doğmuş olma ihtimali ise 1 – (364/365).(363/365) olacaktır, yani yaklaşlık olarak 0.08. Buradan şunu görürüz ki eğer grupta 365 kişi olursa mutlaka en az iki kişinin doğum günü aynı olacaktır.

Peki en az iki kişinin aynı günde doğmuş olma ihtimalinin %50 olması için grupta kaç insan olmalı? Yukardaki hesabı biraz genelleyelim.

p[1] = 1 – (365/365) =0

p[2] = 1- (365/365).(364/365)

p[3] = 1- (365/365).(364/365).(363/365)

p[4] = 1- (365/365).(364/365).(363/365).(362/365)

.

.

k kişi sayısı ise genel hesapmala yolu;

p[k] = 1 – 365! / ((365-k)!365^k) olur. İşte bazı k ve p[k] değerleri.

k    p[k]

1    0
2    0.00274
3    0.00820
4    0.0164
5    0.0271
6    0.0405
7    0.0562
8    0.0743
9    0.0946
10    0.117
11    0.141
12    0.167
13    0.194
14    0.223
15    0.253
16    0.284
17    0.315
18    0.347
19    0.379
20    0.411
21    0.444
22    0.476
23    0.507
24    0.538
25    0.569

Buradan da görüldüğü gibi ihtimalin %50 olabilmesi için 23 kişilik bir grup yetmekte. Şaşırtıcı değil mi?

Leonhard Euler 15 Nisan 1707′de İsviçre,Basel’de doğmuş ve 18 Eylül 1783′te Rusya St Petersburg’da ölmüştür. Euler’in babası Paul Euler’dir. Paul Euler Basel Üniversitesinde teoloji(ilahiyat) okumuş ve Jacob Bernolli’nin derslerine katılmıştı. Aslında Paul Euler, Jacob Bernoulli’nin kardeşi olan Johann Bernoulli ile beraber üniversite yıllarında bizzat Jacob Bernoulli’nin evinde kalmıştı. Kendisi bir protestan vaizi olduktan sonra, yine bir başka protestan vaizinin kızı olan Margaret Brucker ile evlendi. Daha sonra Leonhard Euler dünyaya geldi ve aile Basel’den çok da uzak olmayan Riehen’a taşındılar. Euler burada büyüdü. Paul Euler bahsettiğimiz gibi biraz matematik çalışmıştı ve oğluna bunları öğretecek kadar temel matematik bilgisi bulunmaktaydı.

Euler ilk öğrenim görmesi için Basel’e gönderildi ve burada büyükannesinin yanında kaldı. Bu okul kendisi için zayıf kalıyordu ve burada matematik öğrenemiyordu. Babasının yaktığı matematik kıvılcımını kendisinin bulduğu yazı ve kitaplarla devam ettirdi. Bu arada bazı özel dersler de alıyordu. Babası oğlunun kendisi gibi bir vaiz olmasını istediği için onu Basel Üniversitesine gönderdi. Henüz 14 yaşındayken 1720′de üst düzey eğitim almadan önce ön temel bilgileri öğrenmek için üniversiteye girdi. Johann Bernoulli yakın zamanda Euler’deki büyük matematik potansiyelini fark etti. Euler bu konuda yayımlanmamış otobiyografisinde şunu söyler:

“Yakın zamanda meşhur bir profesör olan Johann Bernoulli ile tanışma fırsatı buldum… Doğru, kendisi çok yoğun, bu yüzden bana özel ders vermeyi kabul etmedi fakat çok değerli bir tavsiye olan daha zor matematik kitapları okumamı, çalışabildiğim kadar çalışmamı söyledi. Eğer çok zorluk çekersem her Pazar yanına gidip soru sorabilme, anlamadığım yerleri birlikte çalışma izni aldım….”

1723′te Euler felsefedeki master derecesini Descartes ve Newton’un felsefi düşüncelerinin benzer ve ayrılan yönlerini karşılaştırarak aldı. İlahiyat eğitimine 1723 sonbaharında başladı. Fakat Euler samimi bir Hristiyan olmasına rağmen matematikte bulduğu heyecanı burada bulamıyordu. Johann Bernoulli’nin de yardımıyla babasından bölümünü matematik olarak değiştirme iznini aldı.

Euler Basel Üniversitesindeki çalışmalarını 1726′da bitirdi. Bu sene itibariyle Euler’in eşzamanlı eğriler üzerine bir yazılı çalışması da bulunuyordu. 1727 yılında karşılıklı yörüngeler üzerine bir makale daha yayımladı ve Paris Akademsinin gemi direkleri hakkındaki Grand Prize ödülü için kayıt yaptırdı. Ancak bu sene ödül gemiler ile ilgili olan uzman bir matematikçi, Bouguer’a gitti. Ancak Euler yeni bir mezun olarak hiç de azımsanmayacak olan ikincilik ödülünü aldı.

Bu yıl Euler St Petersburg’dan matematik uygulamaları ve mekanik fizyoloji öğretmesi için bir davet aldı. Bu daveti hemen kabul etmedi. Bunun iki sebebi vardı. Birincisi, öğreteceği konular üzerine biraz çalışmak, ikinci olarak sa Basel Üniversitesindeki fizik bölümünün profesörünün ölmesi nedeniyle açılan boşluğa geçmek istemesiydi. Bu arada ilerde bir klasik olacak akustik hakkında bir makale yayımladı. Fakat yaşının çok genç (19) olması nedeniyle buraya atanmadı ve Rusya’ya gitmeye karar verdi ve Basel’den ayrıldı (5 Nisan 1979). 17 Mayıs 1727′de Rusya’ya ulaştı. 2 sene Peter the Great’in karısı olan Catherine 1 tarafından desteklendikten sonra St Petersburg Bilim Akademisine katıldı. Daniel Bernoulli ve Jakob Hermann’ın tavsiyeleri üzerine akademide daha önce karar verilen felsefe bölümü yerine, matematik-fizik bölümüne kabul edildi. St Petersburg kendisi gibi bir çok meslektaşı ile beraber çalışma ve fikir alışverişinde bulunma imkanına sahip oldu.

Euler 1727 ile 1730 yılları arasında Rus ordusunda tıbbi teğmen olarak görev yaptı. St Petersburg’da Daniel Bernoulli ile beraber yaşamaktaydı. Euler 1730′da akademide fizik profesörü oldu ve ordudaki görevini bırakabilme imkanına kavuştu. Daniel Bernoulli akademide Matematik bölümü senior kürsüsünün başına getirildi fakat 1733′de Rusya’dan ayrılınca yerine Euler geçti. Bu sıralarda parasal açıdan refaha kavuşan Euler kendisi gibi bir İsviçreli olan ve St Petersburdaki bir ressamın kızı olan Katharina Gsell ile evlendi. 13 çocukları olmasına rağmen sadece 5′i hayatta kaldı. Euler kucağında bir bebek ve bacaklarında oynayan çocuklar olduğu halde çok büyük matematiksel buluşlar yaptığını söyler.

Euler’in matematik çalışmalarının(ilerde bahsedilecek) dışında birer devlet projesi olan haritacılık, bilim eğitimi, manyetizma, itfaiye araçları, makineler ve gemi mimarisi üzerine de çalışmalar yapmıştır.

Kendi araştırma programının özü şu anda “sayılar teorisi” içinde yer alır. Çalışmaları arasında diferansiyel denklemler, varyasyon matematiği, rasyonel mekanik vardır. O bu üç alanı kendi aralarına çok yakın olarak görmüştür.

Bir çok çalışmasında ve kitabı olan Mechanica’da(1736-37) büyük matematiksel çalışmalarına başladı.

Fakat 1735′de Euler’in ciddi sağlık problemleri ortaya çıktı. Şiddetli ateş neredeyse hayatına mal oluyordu. Kendi hayatını anlatırken 1738′de haritacılık çalışmaları sırasında görme probleminin başladığını, 1740′da ise bir gözünü kaybedip diğeri için tehlike oluştuğunu söyler.

1738 ve 1740 Paris Akademi ödülünü alarak bu senelerde çok büyük bir şöhrete kavuşur. Bu ün kendisine Berlin’den bir davet sağlar. Ancak ilk durumda kendisi St Petersburg’da kalmayı yeğeler. Ancak Rusyadaki politik problemler yabancıların burada kalmasını zorlaştırır. 1741′de Berlin’e geçer. Berlin’de olduğu zamanlarda dahi maaşının yarısını Rusya’dan alır. Bu yüzen, kendisi St Petersburg Akademisi için matematiksel kitaplar ve araçlar alır, ayrıca genç Rusları da yetiştirmeye devam eder.

Berlin’de geçirdiği 25 yıl boyunca 380 makale yayımlar. Varyasyon matematiği, gezegensel yörüngeler, toplar ve balistik, gemi yapımı ve denizcilik, ayın hareketi, diferansiyel matematik hakkında kitaplar yazar. Ayrıca Letters to a Princes of Germany (3 cilt, 1768-72) isminde popüler bilim yazıları yayımlar.

1759′da Berlin Akademisinin başına geçer. Fakat kendisine başkan sıfatı verilmez. Kral Frederick tüm sorumludur. Bu arada kral ve d’Alembert ile yaşadığı problemler, kralın d’Alembert’a başkanlık teklif etmesi (Rusyaya taşınmayı kabul etmese de) Eulerin buradan ayrılma kararı alması için yeterli olur.

1766′da St Petersburg’a döner. Kısa bir zaman sonra Euler tamamen kör olur. 1771′de evi yanar ve sadece kendisini ve matematiksel el yazmalarını kurtarabilir. Yangından sonra bir katarakt ameliyatı geçirir ve Birkaç gün gözü düzelir. Ancak kendisine yeterince bakmadığı için tamamen karanlığa gömülür.

Fakat Euler’de öyle bir hafıza vardır ki, görmemesine rağmen optik, cebir, ayın hareketi konusunda çalışmalar yapar. Hatta Rusyaya dönüşünden ve tamamen görmez oluşundan sonra (yaşı 59 idi) yaptığı çalışmalar, hayatı boyunca yaptıklarının yarısını oluşturur.
Tabi ki bu çalışmaları kendisi yapmazdı. Yardımcıları oğulları olan Johann Albrecht Euler (St Petersburg Akademisi Fizik kürsüsü 1766), asker olan Christoph Euler ve akademiden arkadaşları olan Krafft, Fuss, Lexell’dir.

Örneğin Euler’in çalışmları ve bu Albrecht ve Krafft ve Lexell’in yardımıyla ayın hareketi hakkında 775 sayfalık bir kitap yayımlamıştır. Fuss’ın yardımıyla 250′nin üzerinde makale yayımlamıştır.

Euler 1783′te hayata gözlerini yumdu. Yushkenevich ölümü hakkında şunları söyler:
“18 Eylül 1783′te Euler günün ilk yarısını normal bir şekilde geçirdi. Torunlarından birine matematik dersi verdi, tebeşir ile iki tahtada balonların hareketi hakkında hesaplamalar yaptı, daha sonra Lexell ve Fuss ile yeni keşfedilen Uranüs gezegeni ile ilgili fikir alışverişinde bulundu. Saat 5 gibi beyin kanaması geçirdi ve bilincini kaybetmeden önce “Ölüyorum” diyebildi. Saat 11 gibi öldü.”

Ölümünden sonra St. Petersburg Akademisi yayımlanmamış yaklaşık 50 yıllık makalelerini yayımladı.

Euler’in matematik için yaptıkları böyle bir makale için fazla gelir ancak yine de bir fikir verebilir. Kendisi gelmiş geçmiş en verimli matematikçidir. Modern analitik geometri ve trigonometride sin,cos ve benzerlerini bir fonksiyon olarak algılayarak büyük sıçramalar yapmıştır.

Geomtri, matematik(calculus) ve sayı teorisi hakkında kesin ve gelişmeye meyilli katkılar yaptı. Leibniz’in diferansiyel matematiğini ve Newton’un matematik analizdeki değişme hızını birleştirdi. Diferansiyel denklemler için beta ve gamma fonksiyonlarını ve integral çarpanını buldu. Süreğen mekanik, lunar teori, 3 cisim problemi, elastikiyet, akustik, ışığın dalga teorisi, hidrolik ve müzik üzerine çalışmalar yaptı. Analitik mekanik temellerini özellikle Theory of the Motions of Rigid Bodies (1765) kitabında attı.

Bir fonksiyon için f(x) (1734), doğal logaritma tabanı için e (1727), -1′in kökü için i (1777), pi için π gösterimleri , toplam sembolü gibi gösterimleri Euler’e borçluyuz.

Euler’in sayı teorisi ile ilgili ilgisi Bernoulliden gelir. Fakat bunu canlandıran Goldbach olmuştur. 1729, Euler’e Fermat’nın 2^n+1 ifadesinin eğer n 2′nin bir katı ise her zaman asal sayı olacağı varsayımını bilip bilmediğini sordu. Bunun üzerine Euler bu varsayımı 1,2,4,6,8 ve 16 için doğruladı. Sonunda 1732′de bir sonraki durum olan 2^32+1=4294967297 sayısının 641 ile bölündüğünü ve dolayısıyla asal olmadığını ispatlamış oldu. Fermat’nın başka ispat edilmemiş varsayımları üzerinde de çalıştı ve Euler phi fonksiyonunu matematiğe kazandırdı.

Euler’in gençlik zamanında kendisine ün getiren en büyük şey ise Basel problemine getirdiği çözümdür.

1739′da C için Bernoulli sayılarına göre rasyonel katsayıları buldu.
Bir başka çalışması meşhur Eueler sabitini 1735′de açıkladığı sonsuz serilerle ilgili ilgilidir.

Euler’in sayı teorisi hakkında çalıştığı bir başka konu ise Fetmat’nın Son Teoremi hakkında olanıdır. İlk olarak n=3 için olan ispatı Euler yapmıştır.

Birisi çıkıp da matematiksel analizin Euler ile başladığını iddia etse yanlış söylemiş olmaz. 1748′de Introductio in analysin infinitorum isimli kitabında Johann Bernoulli’nin düşüncelerini daha kesin olarak belirtmiştir ve matematiksel analizi fonksiyonların üzerinde bir çalışma olarak tanımlamıştır.

Bu ve daha fazlasını http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Euler.html adresinde bulabilirsiniz.

BİR BAŞKA AÇIDAN EULER – Matematiğin Tek gözlü devi!

Euler, inanılmaz bir sezgi gücüne ve müthiş bir belleğe sahipti, sayfalar alabilecek koskoca bir hesabı, hiç kağıt kalem kullanmadan akıldan yapabildiği söylenirdi. Bütün Avrupa’da “analizin vücut bulmuş hal dili” diye ün salmıştı. Leonhard’ın papaz olan babası onun da kendisi gibi İlahiyat okuyup din adamı olmasını istiyordu. O da babasının sözünü dinledi ve Basel Üniversitesinde ilahiyat ve İbranice okudu.

Ancak Basel’de ünlü Bernoulli ailesi de yaşıyordu ve bu ailenin ünü Bach ailesinin müzikteki yeri gibiydi. Tüm Avrupada en öne çıkmış sekiz beyni bu aile yetiştirmişti. Bu aileden Daniel ve Nikolaus Eulerin iki kadim dostuydu ve babasından onun Matematik öğrenimi almasını rica ettiler. Babası da zamanında Jakob Bernoulli’den ders aldığı için istemeye istemeye d eolsa bu teklifi kabul etti.

Euler kısa bir süre sonra Berlin ve St Petersburg’a geçti ve burda saraylarda yaşamaya başladı. Kariyerine önce Rus çarlarının yanında başladı, sonra da Prusya hükümdarının himayesinde Berlin Akademisine geçti. Son olarak Büyük Katerina döneminde tekrar Rusyaya dönerek son yıllarını burada geçirdi.

Meslek hayatı boyunca denizcilikten finans işlerine, akustikten sulamaya kadar çeşitli problemlerle uğraştı. Pratik problem çözme dünyasında bulunmak, Euler’in matematik yeteneğini köreltmedi, aksine üzerinde çalıştığı her iş yeni ve dahice matematik buluşlarının ilham kaynağı oldu. İnatçı bir tutkuyla çalışıp aynı gün birden fazla makale yazdığı oluyordu. Akşam yemeği için yapılan iki çağrı arasında yayınlanmaya değecek bütün bir hesabı karalayıverdiğini anlatır. Euler, tek bir anını bile boş geçirmiyor, bir eliyle bebek sallasa, diğeriyle ispat taslağı çıkarmayı sürdürüyordu.

Euler’in en büyük başarılarından biri algoritmik yöntemin geliştirilmesidir. Bu imkansız gözüken problemleri ele almayı sağlayan bir yöntemdi. Örneğin Ay’ın gelecekteki evrelerinin yüksek bir kesinlikte tahmin edilmesi böyle bir problemdi ve denizcilik planlarının çıkartılması bakımından büyük önem taşıyordu. Newton bir gök cisminin diğeri etrafında çizdiği yörüngeyi tahmin etmenin pek de zor olmadığını çoktan göstermişti ancak Ay söz konusu olunca durum o kadar da basit değildi. Ay Dünya’nın çevresinde döner ama Güneş de üçüncü bir cisim olarak işe karıştığından durum çok karışıktır. Dünyayla Ay birbirini çekerken Güneş de Dünyanın konumunu bozmakta, bu da Ay’ın yörüngesine ayrı bir etki yapmaktadır. 18.yy’da herhangi iki cismin birbirini etkileyişi bazı denklemlerle saptanabiliyordu ama o dönem matematikçileri üçüncü bir cismi hesaplara dahil edemiyordu. Bugün bile “üçüncü-cisim problemleri” denilen bu meseleyi kesin bir şekilde çözmek olanaksızdır.

Euler denizcilerin aslında Ay’ın evrelerini çok kesin olarak bilmeye ihtiyaçları olmadığını anlamıştı. Birkaç deniz mili içindeki konumlarını bilecek kadar bir kesinlik yeterliydi. Dolayısıyla Euler de mükemmel olmayan ama yeterli kesinliği sağlayabilen bir formül geliştirdi. Algoritma denilen bu yöntemde önce kaba bir yaklaşık sonuç elde ediliyor, sonra bu sonuç tekrar algoritmaya yerleştirilerek daha iyi bir sonuç elde ediliyordu. Bu böyle devam edip gidiyordu. İşlemi yaklaşık 100 kere tekrar eden Euler, Ay’ın konumunu donanmanın gereksindiği kesinlikte saptayabilmişti. Algoritmasını Britanya Donanmasına sundu ve karşılığında 300 Sterlin ödül aldı.

Euler kendisine verilen her problemi çözen biri olarak tanınmıştı. Bu bilimi bile aşan bir yetenekti. Büyük Katerina’nın yanında görev yapmaktayken, büyük Fransız filozofu Denis Diderot ile sıkı bir tartışmaya girdi. Diterot tavizsiz bir ateistti ve o sırada zamanını Rusları ateist yapmaya adamış bulunuyordu. Çileden çıkan Katerina Euler’den bu tanrısız Fransızın çalışmalarını durdurmasını istedi.

Euler konu üzerine biraz düşündükten sonra, Tanrı’nın varlığını cebirden yararlanarak ispat edebileceğini ileri sürdü. Büyük Katerina, Euler ve Diderot’yu saraya davet etti, saray mensuplarını da bu teolojik tartışmayı izlemeleri için bir araya getirdi. Euler topluluğun önüne çıkıp konuştu:

“Efendim, (a+b^n)/n=x, dolayısıyla Tanrı vardır; buyurun bakalım!”

Cebirden anlamayan Diderot, Avrupa’nın en büyük matematikçisine karşı çıkamadı, öylece kalakaldı. Aşağılanmış olarak St. Petersburg’dan ayrıldı, Paris’e döndü.

Euler ve Köprü Problemi

Rusya’da bulunduğu sıralarda çözdüğü bir başka problem de Prusyadaki Königsberg, şimdiki adıyla Kaliningrad kenti ile ilgiliydi. Pregel nehrinin kıyılarında kurulmuş olan kent, birbirine 7 köprü ile bağlanmış dört bölümden oluşuyordu.

Kentin bazı meraklı sakinleri kendilerine, aynı köprüden iki kez geçmeye gerek kalmadan bütün köprüleri aşarak şehri dolaşmanın bir yolu olup olmadığını sormuşlardı. Ne kadar yol denendiyse , hepsi de boşa çıktı. Euler de uygun bir rota çizemedi ancak böyle bir gezinti yapmanın neden imkansız olduğunu açıklamayı başardı.

İşe bir kent planı üzerinde çalışarak başladı ve kentin bölümlerini noktalar, köprüleri ise çizgiler halinde gösterdiği basit bir şema oluşturdu:

Sonra da başarılı bir gezi yapabilmek için bir noktanın bağlandığı çizgilerin sayısının bir çift sayı olması gerektiğini ileri sürdü. Çünkü gezinti sırasında herhangi bir kara parçasından geçmek isteyen yolcunun oraya bir köprüden geçerek girmesi, sonra da başka bir köprüden geçerek çıkması gerekiyordu. Bunun sadece iki istisnası vardır: gezinin başladığı ve bittiği yer. Başlangıç durumunda yolcu bulunduğu kara parçasından ayrılmak için sadece bir köprüye ihtiyaç duyar., bitişte de yine tek bir köprüden geçerek son kara parçasına ayak basar. Eğer gezi farklı iki yerde başlayıp bitiyorsa, bu iki kara parçasına bağlanan köprü sayısı tek olmak zorundadır. Bunun karşılık başlangıç ve bitiş yeri aynıysa, diğer bütün noktalar gibi bu noktanın da çift sayıda köprüye sahip olması gerekir.

Bu şekilde düşünen Euler, şu genel sonuca vardı: köprü ağı ne şekilde olursa olsun, her köprüden sadece bir kez geçerek geziyi tamamlayabilmek için ya her kara parçasının köprü sayısı çift ya da tamı tamına iki kara parçasının köprü sayısı tek olmak zorundaydı. Königsberg toplam dört kara parçasına yayılmıştır ve bunların her biri komşu yerlere tek sayıda köprüyle bağlanmıştır. Üç noktadan üçer köprü, birinden de beş köprü çıkmaktadır. Böylece Euler hem Köngsberg’i her köprüden sadece ve sadece bir kez geçerek dolaşmanın neden imkansız olduğunu göstermiş hem de dünyanın herhangi bir yerindeki herhangi bir şehrin köprü ağına uygulanabilecek bir kural oryata koymuştur. Argümanı estetik bir basitliğe sahiptir ve belki de akşam yemeği öncesinde karalayıverdiği mantık problemlerinden biridir.

Königsberg bilmecesi, uygulamalı matematikte ağ problemi diye anılan türün bir örneğidir. Ancak Euler’e daha soyut ağları ele alma konusunda ilham vermiştir. Euler bütün ağ sistemlerinin temelini oluşturan bir doğruyu bulmaya girişti ve sadece birkaç mantıksal adımdan yararlanarak ağ formülünü geliştirdi. Bu formül, herhangi bir ağı betimleyen üç özellik arasındaki kalıcı ilişkiyi dile getirir:

V+R-L = 1
V = Ağdaki köşelerin (kesişme noktaları) sayısı,
L = Ağdaki çizgilerin sayısı
R = Ağdaki bölgelerin (kapalı alanların) sayısıdır.

Euler’in iddiasına göre, herhangi bir ağ sisteminde köşelerin ve alanların sayıları toplanıp bundan çizgilerin sayısı çıkarıldığında sonuç her zaman 1′dir. Örneğin alttaki şekilde bütün ağlar bu kurala uymaktadır.

Bu formülü bir çok ağ için sınadığımızı düşünebiliriz. Eğer her seferinde doğru çıkıyorsa, bütün ağlar için doğru olduğunu kabul etmeye yatkınlık duymaya başlarız. Bu, bilimsel bir kuram için yeterli kanıt sayılır ancak bir matematik teoremini doğrulamaya yetmez. Formülün bütün olası ağlar için geçerli olduğunu göstermenin tek yolu kusursuz bir argüman oluşturmaktır. Euler’in yaptığı da buydu.

Euler olabilecek en basit ağı düşünerek işe başladı, bu da yandaki şekilde a maddesinde görüldüğü gibi tek bir köşeden ibarettir. Bu ağ için formülün doğru olduğu açıkça bellidir: bir köşe var, çizgi ve alan yok, dolayısıyla:

V+R-L = 1 + 0 – 1 = 1

Eulerin bundan sonra yaptığı bu en basit ağa bir ekleme yapıldığında ne olacağını sormaktı. Bir köşeye herhangi bir ek yapılacaksa, mutlaka bir çizgi çekmek gerekir. Bu çizgi ya ya mevcut köşeyi kendi kendisine bağlar ya da yeni bir köşeye bağlar.

b maddesinde görüldüğü gibi kendi kendisine bağlanmasına bakalım. Çizginin eklenmesiyle birlikte ortaya bir de yeni alan çıkıyor. Böylece ağ formülü de geçerliliğini koruyor çünkü eklenen alanla (+1) eklenen çizgi (-1) birbirini dengeliyor. Bu şekilde daha ne kadar çizgi eklense, her çizgi bir de yeni akan oluşturacağından, formül hep doğru kalacaktır.

İkinci olarak da çizginin yeni bir köşeye bağlandığı durumu ele alalım, c maddesi. Bir kez daha ağ formülünün doğru kaldığını görüyoruz çünkü bu defa da eklenen köşeyle (+1) eklenen çizgi (-1) birbirini dengeler. Bu şekilde eklenen yeni çizgiler de daima yeni bir köşe doğuracağından ağ formülü yine hep doğru olacaktır.

İşte ispat için Euler’e gereken sadece bu kadardı. Şöyle akıl yürütüyordu: ağ formülü bütün ağların en basiti olan tek köşe için doğrudur. Ayrıca başka her ağ da, ne kadar karmaşık olursa olsun, bu en basit ağa teker teker yeni çizgiler ekleyerek oluşturulur. Her yeni çizgi eklenişinde ağ formülü doğru olarak kalacaktır. çünkü hep ya yeni bir köşe ya da yeni bir alan eklenmiş olacak, bu da dengeleyici bir etki yapacaktır. Euler basit ama çok güçlü bir strateji geliştirmişti. Formülün en temel ağ için, yani tek bir köşe için doğru olduğunu ispat ettikten sonra ağı daha karmaşık hale getirecek her türlü işlemin, formülün geçerliliğinin muhafaza etmeyi sürdüreceğini göstermişti. Dolayısıyla formül, sonsuz sayıdaki bütün olası ağlar için doğruydu.

Fermat’nın Son Teoremi Ve Euler

Euler Fermat’nın Son Teoremi ile ilk karşılaştığında, onu da benzer bir stratejile çözebileceğini ummuş olmalı. Bu iki problem farklı matematik alanlarından gelse de ortak bir noktaları var: ikisi de sonsuz sayıdaki nesnelerden bahsediyor. Fermat’nın Son Teoremine göre sonsuz sayıda denklem için tam sayılı hiçbir çözüm bulunmuyor. Fermat aşağıdaki denklem için tam sayılı çözüm bulunmadığını söylemişti:

n 2′den büyük herhangi bir sayı olduğunda, x^n +y^n=z^n

Bu denklem sonsuz sayıda denklemler kümesini temsil eder.

Euler bu denklemlerden birinin çözümünün olmadığını ispat ettikten sonra, bu sonucu diğer bütün denklemleri kapsayacak şekilde genişletmenin bir yolu olup olmadığını sordu kendine, tıpkı ağ probleminde olduğu gibi.

İspata Fermat’nın notlarından keşfettiği bir ipucu ile başladı. Gerçi Fermat ispatı hiçbir yere yazmamıştı ancak Arithmetika’nın bir kenarına teoremin özel bir şıkkı olan n=4 için bir ipucu bırakmıştı. Fermat “sonsuz iniş yöntemi”ni kullanarak n=4 için denklemin çözümü olmayacağını ispat etmişti. İpucundan bu çıkıyordu. İşte Euler’de bunu kullanarak diğer şıklar için denedi. Kısa bir süre sonra n=3 için bunu göstermeyi başardı. Böylece tam 100 sene sonra ilk defa bir matematikçi Fermat’nın Son Teoremi için bir ilerleme kaydetmişti. Euler bunu ispat etmek için sanal sayı olan acayip bir kavrama baş vurmuştu ki bu 16. yy’da keşfedilen yeni bir şeydi. Bu muazzam bir başarıydı ancak Euler bu başarıyı diğer seçenekler için bir türlü gösteremedi. Tüm denemeleri hep sonuçsuz kalmıştı. Tarih’te matematiğe katkısı herkesten daha fazla olan bu adam Fermat’nın Son Teoremi karşısında aciz kalmıştı. Tek tesellisi ise dünyanın bu en zor probleminin çözümü yönünde ilk hamleyi gerçekleştirmiş olmasıydı.

Euler bu başarısızlıktan yılmadı , öldüğü güne kadar parlak matematik buluşlarına devam etti. Son yıllarda tamamen kör olması bu gerçeği daha da şaşırtıcı kılmaktadır. Görme duygusnu kaybetmesi 1735′lere denk düşer. O yıl Paris Akademisi bir astronomi probleminin çözümü için ödül koymuştu. Soru o kadar karmaşık görünüyordu ki, matematikçi çevresi Akademiden çözüm için Birkaç ay süre talep etti. Ancak Euler için bu gereksizdi. Kafasını bu işe taktı, üç gün hiç durmadan çalıştı ve sonunda hak ettiği ödülü aldı. Ne var ki yaşadığı stres ve kötü çalışma koşulları onun gözlerinden birine mal olmuştu.

Bu aşamadan sonra Büyük Friedrich sarayına Euler’in yerine Lagrange’ı getirdi ve Euler Rusyaya geri dönmek zorunda kaldı. Orada Büyük Katerina kendisine sahip çıktı ve bu “matematiğin tek gözlü devi”ni memnuniyetle karşıladı.

Bir gözünü kaybetmesi onun için bir engel değildi. “Artık daha az sapmayla bakacağım” diyordu. Kırk yıl sonra, yani 60 yaşlarındayken durumu hızla kötüleşti. Sağlam gözünde katarakt başlamıştı ve kendisi olacakları tahmin edebiliyordu. Fakat bu da kendisini yıldırmadı, sağlam gözünü yumarak antrenmanlara başladı. Bir süre sonra sağlam gözü de kör olmuştu. Yaptığı hazırlıklar bir süre işe yaradı ancak Birkaç ay sonra yazısı okunmayacak hale gelince oğlu Albert kendisine yardım etmeye başladı, onun söylediklerini yazıyordu.

Euler bu halde 17 yıl daha matematikle uğraştı ve öncekinden daha verimli oldu. Muazzam zekası kağıt kalem olmadan kavramlarla oynamasına izin veriyor, inanılmaz belleği sayesinde de beyni bir tür zihinsel kütüphane gibi işliyordu. Ay’ın evrelerine ilişkin hesaplamaları bu kör olduğu dönemde yaptığı da kayda değer bir olgudur.

Kaynak: Fermat’nın Son Teoremi, Simon Singh,Çev:Sabir Yücesoy,Pan Yayıncılık.