Altın Oran da Neymiş?
Kaynak: http://www.antrak.org.tr/gazete/032005/ta2ee-1.html
Altın oran kavramı ve bu kavramın gizemi nedir diye düşündüğünüz olmuştur. Belki de bu kavramı ilk defa duymuşsunuzdur. Peki, nedir altın oran, nereden çıkmıştır, pratik hayatta kullanımı var mıdır? Doğada rastlanan bir kavram mıdır, yoksa öylesine ortaya atılmış, zorlama ve yapay bir kavram mıdır?
Matematik de diğer bilim dalları ve disiplinler gibi kötü niyetli ellerde tehlikeli bir oyuncak haline getirilebilir. Düzenbaz falcıların sudan, kahve telvesinden ya da fasulyeden gelecek öngörüleri oluşturmaları gibi, matematik de, din kitaplarından şifreler, Nostradamus manzumelerinden kıyamet günü için tarih hesapları ortaya çıkartmakta kullanılabilir. Bir bıçağı ile ekmek kesmek için kullanabileceğiniz gibi insan öldürmek için kullanabilirsiniz örneğinde olduğu gibi. Altın Oran kavramı bu tür istismarlarda da kullanılabilecek bir konu mudur? Yoksa bilimsel bakış açısıyla ele alındığında anlamlı sonuçlara ulaşmamızda faydası var mıdır, gibi soruları aklımızın bir köşesinde tutmakta fayda var. Şimdilik bu tür şüphecilikleri akıl süzgeçlerimize bırakmak ve konuyu ele almak en iyisi sanıyorum.
2004 senesi içinde yıldızı parlayan yazar Dan Brown’ın Da Vinci Şifresi isimli sürükleyici romanında işlenen pek çok alt konudan biri de altın orandı. (13. basım, bölüm 20 sf: 104-112) Diğer adıyla Fibonacci dizilimi ve Phi sayısı. Aslında tarih boyunca bilinen kullanılan Altın Oran kavramına bir kere daha dikkat çekilmesi romanın iyi yönlerinden biriydi. Konuya ilgi çekilmesi ise geniş kitlelerin binlerce yıldır bir unutulup bir hatırlanan bu kavram hakkında oluşturduğu merak ise romanın iyi yönlerinden biri olarak görülebilir şüphesiz.
Bu çalışmanın çıkış amacı, altın oran ile ilgili verileri ve bulguları mümkün olan en objektif ölçüler içerisinde ortaya koymaktır. Altın oran kavramını ileri sürerek herhangi bir ideolojik söylemi desteklemek ya da kanıtlamak gibi bir amacı bulunmamaktadır.
Çeşitli kaynaklar altın oran konusunu bu şekilde ideolojik söylemlerine destek olarak amaçları doğrultusunda kullanmaktan çekinmemişlerdir. Çalışma için yapılan araştırma sırasında bu tür kaynakların benzeri deformasyonları ayıklanmıştır.
Çalışmada deforme edilmiş iddialar yerine nesnel veri ve bulgular ele alınarak gerçeklerin ortaya konulmasına gayret edilmiştir.
Altın Oran Nedir?
Altın oran, 1 sayısına eklendiğinde kendi karesine eşit olan iki sayıdan biridir. Altın oran 1,618033…. olarak devam eden ondalık sayıdır. 1 sayısına eklendiğinde kendi karesine eşit olan diğer sayı da – 0,618033… olarak devam eden ondalık sayıdır.
Altın orana ilişkin matematik bilgisi ilk kez İ.Ö. 3. Yüzyılda Öklidin Stoikheia (“Öğeler”) adlı yapıtında “aşıt ve ortalama oran” adıyla kayda geçirilmiştir. Eldeki veriler,bu bilginin geçmişinin aslında Eski Mısırda İ.Ö. 3000 yılına kadar dayandığını göstermektedir. Grek dünyasına da Pythagoras ve Pythagorascular tarafından tanıtıldığı ileri sürülür.
Kısaca altın orana “göz nizamının oranı” diyebiliriz.
Tarihte görülebileceği gibi Sanatçılar bu özelliği kullanıp göze güzel görünen eserler meydana getirmişlerdir. Örneğin Mona Lisa tablosunun boyunun enine oranı altın oranı verir. Mona Lisa’nın yüzünün etrafına bir dikdörtgen çizdiğinizde ortaya çıkan dörtkenar bir altın dikdörtgendir. Bu dikdörtgeni, göz hizasında çizeceğiniz bir çizgiyle ikiye ayırdığınızda yine bir altın oran elde edersiniz. Resmin boyutları da altın oran oluşturmaktadır.
M.Ö. 500lü yıllarda yaşamış olan tüm zamanların en büyük matematikçilerinden biri olan Pisagor (Pythagoras), altın oranla ilgili aşağıdaki düşüncelerini dile getirmiştir:
“Bir insanın tüm vücudu ile göbeğine kadar olan yüksekliğinin oranı, bir pentagramın uzun ve kısa kenarlarının oranı, bir dikdörtgenin uzun ve kısa kenarlarının oranı, hepsi aynıdır. Bunun sebebi nedir? Çünkü tüm parçanın büyük parçaya oranı, büyük parçanın küçük parçaya oranına eşittir.” (Eğer normal bir pentagonun AB kenarlarını içersine çizilecek bir pentagramın AC uzunluğu ile karşılaştırırsak uzunluğunu Ø = (1 + √5)/2 = 2cos(p/5) = 1.61803… olarak buluruz yani altın oran sayısı.)
Altın oranın gizeminin ne olduğunun cevabı, Fibonacci lakaplı İtalyan matematikçinin bulduğu bir dizi sayıda gizlidir. Fibonacci sayıları olarak da adlandırılan bu sayıların özelliği, dizideki sayılardan her birinin, kendisinden önce gelen iki sayının toplamından oluşmasıdır.
Leonardo Pisano ya da takma adıyla Fibonacci Kimdir?
Orta çağın en büyük matematikçilerinden biri olarak kabul edilen Fibonacci İtalya’nın ünlü Pisa şehrinde kesin olarak bilinmemekle birlikte 1170 yılında doğmuştur. Çocukluğu babasının çalıştığı Cezayir’de geçmiştir. İlk matematik eğitimini Müslüman bilim adamlarından almış ve İslam uygarlığının kitaplarını incelemiş ve üzerlerinde çalışmıştır.
1201 yılında “Liber Abacci” (cebir kitabı) adında bir matematik kitabı yazmıştır. Arap rakamlarını ve bugün kullandığımız sayı sistemini Avrupa’ya tanıtmıştır. Bu kitapta, ilkokulda öğrendiğimiz temel matematik (toplama, çarpma, çıkartma ve bölme) kurallarını birçok örnek vererek anlatmıştır. Dönemi için Avrupada bilinmemekle birlikte bu kadim bilgilerin matematikte bir sıçrayış için başlatıcı etkiyi yapmış olduğunu ileri sürmek yanlış olmaz. Avrupa unutulan bilgileri Fibonacci sayesinde yeniden hatırlamıştır.
Fibonacci Sayıları: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584,…
Fibonacci dizisinde bir sayıyı kendinden önceki sayıya böldüğünüzde birbirine belirgin şekilde yakın sayılar çıkar. Serideki 13. sırada yer alan sayıdan (233) itibaren bu sayı sabitlenir.
ALTIN ORAN = 1,618
233 / 144 = 1,618
377 / 233 = 1,618
610 / 377 = 1,618
987 / 610 = 1,618
Altın Oran (golden ratio, the golden ve divine proportion olarak da bilinen golden section), Fibonacci sayılarına ait bir özelliktir. Sanatta, doğa da hatta yaşayan organizmalar da bile görünen bu ilgi çekici oran çoğu kişi tarafından yüce bir Yaratıcı’nın varlığının ispatı olarak görülür. Yaratıcının varlığının ispat edilmesinin gerekip gerekmediği tartışmasını konu dışı olması nedeniyle bir yana bırakıyorum.
Fibonacci diziliminin genel olarak anlamı: ”Dizideki bir sayıyı kendinden önceki sayıya böldüğünüzde birbirine çok yakın sayılar elde edersiniz. Hatta serideki 13. sırada yer alan sayıdan (233) sonra bu sayı sabitlenir. İşte bu sayı ‘altın oran’ olarak adlandırılır”
Bildiğimiz p Pi sayısı gibi belli bir sıradan sonra yani 13. sıradan sonra sabitleşen Altın oran 1.61803398874989…a eşittir. Yunan alfabesinden gelen F PHi ile sembolize edilir.
İnsan bedeni
İnsan bedenine bağlı beş belirgin parça vardır. Bunlar iki kol iki bacak ve kafadır. Aynı zamanda kollar ve bacaklara bağlı el ve ayaklarda beşer tane parmak bulunmaktadır. Ayrıca yüzümüzde de dışarıya açılan 5 nokta bulunmaktadır. Bunlar iki göz iki burun deliği ve ağızdır. 5 sayısının da phi ile ilginç bir bağlantısı bulunmaktadır.
Buradaki 5 sayıları aşağıdaki şekilde bizi phi sayısına ulaştırır.
5^0.5 * .5 + .5 = Ø
İnsan İşaret Parmağı
Elinizin işaret parmağınızın şekline bir bakın. Eğer standartlar dışında bir yapısı yoksa parmağınızda da altın oranı bulabilirsiniz.
Şekilde işaret parmağınızın her bölümü bir öncekinden 1,618…( yani altın oranın değeri ) kadar büyüktür ve üstteki cetvele dikkat ederseniz her bölüm 2, 3, 5, 8 e yani ardışık fibonacci sayılarına karşılık gelmektedir. Şekilde pembe, yeşil, sarı ve mavi çizgiler altın oranı gösterir.
İnsan Yüzü
Şekildeki resimde de gördüğünüz gibi kafa bir altın dikdörtgenin içinde. Kulaklar arasındaki mesafe, gözle üst dudak arasındaki, burnun altı ile çene arasındaki mesafe (resimde mavi çizgi ile gösterilmiş) hep altın oran içermektedir. Resmi incelerseniz daha başka altın oranlar da görebilirsiniz. Bunlarda sarı ve yeşil çizgilerle gösterilmiştir.
Örneğin üst çenedeki ön iki dişin enlerinin toplamının boylarına oranı altın oranı verir. İlk dişin genişliğinin merkezden ikinci dişe oranı da altın orana dayanır. Bunlar bir dişçinin dikkate alabileceği en ideal oranlardır.
Akciğerler
Amerikalı fizikçi B. J. West ile doktor A. L. Goldberger, 1985-1987 yılları arasında yürüttükleri araştırmalarında, akciğerlerin yapısındaki altın oranının varlığını ortaya koydular. Akciğeri oluşturan bronş ağacının bir özelliği, asimetrik olmasıdır. Örneğin, soluk borusu, biri uzun (sol) ve diğeri de kısa (sağ) olmak üzere iki ana bronşa ayrılır. Ve bu asimetrik bölünme, bronşların ardışık dallanmalarında da sürüp gider. İşte bu bölünmelerin hepsinde kısa bronşun uzun bronşa olan oranının yaklaşık olarak 1/1,618 değerini verdiği saptanmıştır.
Kalp Atışları
Arayınca altın oranı kalp atışlarında bile bulmak mümkün.
Kulağa biraz zorlama gibi gelse de ekg görüntüsünü bir kontrol edin.
Kalp bu resme göre Phi sayısına uygun atıyor ancak emin olabilmek için başka bir ekg bulup denemesi mümkün tabii.
MimariTürk mimarisi ve sanatı da altın orana ev sahipliği yapmıştır. Mimar Sinan’ın da birçok eserinde altın oran görülmektedir. Mesela Süleymaniye ve Selimiye Camileri’nin minarelerinde bu oran görülmektedir. Türk mimarisi ve sanatı da altın orana ev sahipliği yapmıştır: Konya’da Selçukluların inşa ettiği İnce Minareli medresenin taç kapısı, İstanbul’daki Davut Paşa Camisi, Sivas’ta Mengüçoğulları’dan günümüze miras kalan Divriği Külliyesi genel planlarından kimi ayrıntılarına dek altın oran kendini göstermektedir.
Eski Yunan Uygarlığında da altın dikdörtgen birçok yapıda kullanılmıştır. Bunlardan biri de Atina’daki Partenon’dur. Partenon İ.Ö. 430 ve ya 440 yıllarında tanrıça Athena için yapılmıştır. Tapınağın orijinal planları elimizde olmasa da, tapınağın uzunluğu genişliğinin kök 5 katı olan bir dikdörtgen üzerine inşa edildiği anlaşılmaktadır. Ayrıca tapınakta daha başka altın dikdörtgenler de göze çarpmaktadır (altın dikdörtgen kenarları oranı altın oran olan dikdörtgenlerdir).
Altın oran sadece Yunanlılar tarafından kullanılmamıştır. Mısır’daki Keops piramidinde, Paris’in ünlü Notre Dame Katedralinde altın oranın izlerini görmek mümkündür.
Leonardo da Vinci (1452-1519) eserlerini altın orana uyarak gerçekleştirmiştir. Günümüz mimarlarının üstadlarından olan Ernst Neufert altın oranı kullanmıştır.
Altın Dikdörtgen
Şekilde gördüğünüz dikdörtgen biraz amatörce çizilmiş de olsa altın bir dikdörtgendir. Dolambaçlı model (meander pattern) olarak adlandırılan bu çizim doğada pek çok yerde karşımıza çıkabilir. Hatta hemen deneyebilirsiniz işaret parmağınızı kıvırın ve çıkan şekle bakın. Şekilde altın dikdörtgende ortaya çıkan altın oranı rahatça görebilirsiniz.
Bitkiler
Ayçiçeğinde yer alan ayçekirdekleri saat yönünde 55 adet buna karşılık saat yönünün tersine 89 adet ayçekirdeği tanesi bulunur. 89/55=1.618 Sanırım artık sürpriz olmuyor J
Papatyalar da büyürlerken her dal Fibonacci serisine uyarak yükselmektedir.
Çam Kozalakları
Çam kozalaklarında saat yönünde 5 sıra varken ters yönde 8 sıra yer alır. 8/5=1.6 sayısını verir ki sanırım bu da phi sayısına oldukça yakın bir değer.
Nautilus Pompilius
Evrimin ilk aşamalarından beri değişmeden aynı büyüme şeklini izleyen kabuklu deniz hayvanlarının büyüme şekilleri ilgi çekicidir. Milyonlarca yıllık fosillerde de günümüzde de karşılaştığımız bu bildik şekil deniz kabuklarının büyümeleri altın oranı karşımıza çıkartır.
İşitme ve Denge Organı
İnsanın iç kulağında yer alan Salyangoz cisimciği ses titreşimlerini beyne aktaran bir sistemin parçasıdır. Bu ilginç organımız da, altın orana uyan salyangoz yapısındadır.
DNA
DNA molekülü tüm yaşamın programını taşımaktadır. Temelinde de altın oran bulunmaktadır. Her tam turunda 34 angstrom uzunluğunda ve 21 angstrom genişliğindeki çift heliks spiral yapısı ile tabi ki altın oranı bünyesinde bulundurmaktadır. 34/21= 1.619 sayısını bulmaktadır. Malum sayımız 1.618 yani phi sayısına ne kadar da yakın öyle değil mi?
Evren
Gezegenlerin birbirlerine olan uzaklıklarından tutun da, Satürnün halkalarına hatta evrenin kendi şekline kadar phi sayısı tekrar tekrar kendini gösterir.
Yeni buluşlar göstermiştir ki evrenin şekli bir dodecahedrondur (12 yüzü eşkenar beşgenlerden (pentagon) oluşan bir yapı ki bu da temelinde phi sayısı olan bir yapı olarak kendini gösterir.
Sonuç
Altın oran ile ilgili somut birtakım veriler ve ortaya çıkan gerçek durum söz konusudur. Yazı boyunca anlatılan örneklerde neredeyse baktığımız her yerde görme imkânımız bulunan altın oran için yapılabilecek bir yorum kaosun da bir düzeninin olabileceğidir.
Gerisi ise, insanı düşünceye daldırıp, götürür.
KAYNAKLAR
http://matlab.s5.com/altin%20oran.htm
http://www.hardwaremania.com/forum/showthread.php?t=13957
http://www.antoloji.com/nedir/g.asp?terim=2462
http://www.world-mysteries.com/sci_17.htm
http://www.mathwright.com
http://goldennumber.net
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Fibonacci.html
http://www.cerritos.edu/jmadden/intro/Fibonacci_files/Fibonnaci%20Page.htm
ben de oldum olası matematiği sevmişimdir ama uygulama alanlarını(zaten mühendislik eğitimi aldığım için bu da gerekli) ama iş teorem-ispat safhasına gelince hep tökezlerim.
neyse;
demiştim ya matematiği severim diye küçüklükten beridir de hep matematik kitaplarını okudum TÜBİTAK’ın. oradan da öğrendiğime göre dünya matematik üzerine kuruluymuş, ama bu bitki ya da yapıların inşaatına kadar uzanacağını hayal bile edemezdim. teşekkürler bu bilgiler için.
Cok guzel olmus yazi. Ancak birseyi unutmussun :)
Kendisi continued fractionlarin en guzel sonuc verenidir(nasil bir cumle bu :=) ) Hatta acilimi ;
1, [1]
1 devreder seklinde gidiyor.
Eline saglik.
Surekli gosterimi;
1; 1 (1 devrediyor) olan cok guzel bir sayi/oran.
Eline saglik cok guze hazirlamissin.
Yazı bana ait değil, alıntı olduğu en altta yazıyor ancak sanırım yanlış anlaşılmalara mahal vermemek için bunu en üste alacağım.
bu altın oran kaçtı acaba kök beş artı bir bölü ikimi?
Hayır, yukarıda da anlatıldığı üzere 1.618033.. gibi bir irrasyonel sayıdır. Doğrudan veren bir kesir var mı bilemem ancak o zaman işin büyüsü bozulur. Mesele zaten fibonacci ardışık sayılarınının oranının ilerledikçe bu phi sayısına yaklaşması.
selam.ben ege çalgı yapım mezunuyum.bu oranın varlığını okula girdiğim zaman duymus ve arastırmıstım.çok hoş gerçekten. enstrumanlar da a kullanılıyor ve eski keman yapımcıları meshur strad amati ve guvarneri de bu orandan faydalanmış.saygılarımla..
Gerçekten çok güzel bir çalışma yanlız bana kaynaklar da lazımdı kaynaklar olsaydı benim için daha ii olurdu bence kaynakları da koyun!
bana altın oranı bulabileceğim site isimleri werir misinizz??
Kaynak yazının başında geçiyor. O yazının altında yeterince kaynak var.Ancak sanırım haklısınız buraya da taşımak lazım o kaynakları. Eğer yabancı kaynak arıyorsanız:
http://www.mcs.surrey.ac.uk/Pe.....ibnat.html
bir örnek olabilir.
Fakat yazıdaki kaynaklada da geçen:
http://goldennumber.net/
ve
http://www.world-mysteries.com/sci_17.htm
siteleri son derece güzeldir.
Altın oran ile ilgili yazınızı okudum. Bazı kaynaklardan derleyip oluşturmuşsunuz. Ancak sonunda ettiğiniz cümle ile aslında altın oran’la ilgili hiç birşey anlamamış olduğunuz belli oluyor. “Kaosun düzeni” ne demektir? Systeme Phı, kaos’un tam olarak zıttıdır. Saf mantıkdır. Öteki ise mantıksızlıkken (adı üstünde kaos) bunları bir araya getirmek nasıl oluyor? Bazı mantık, geometrik, matematik, fizik açılardan örnekler vermişsiniz, ki evrende, doğada gözüken bir sürü delille birlikte doğayı oluşturan sistemin estetik yönü de su götürmezdir, yazının sonunda da kendi yazdığınızı reddetmişsiniz. Ayrıca başlıkta berbat.
Poussin
1. Yazı bana ait değil, en başında kaynağı veriyorum. Eğer dikkatli olsaydınız bunu fark ederdiniz. Körü körüne yorum yapmamak lazım.
2. Yazının kaynağı olarak gösterilen yer derleme yapmış olabilir. Zaten yazan zat da burdakilerin hepsi bana ait dememiş, yazının altında yeterli kaynağı vermiş.
3. Yazının sonunda sözü edilen “kaosun da bir düzeni olabilir” cümlesini sanırım siz yanlış anlamışsınız. Ortada kaos var demiyor, kısacası altın oranla kaosu yan yana koymuyor. Aksine “bizim kainatta kaos olarak gördüğümüz ya da düşündüğümüz olaylarda da bir düzen mevcut olabilir, belki biz bunu göremiyoruz veya ilerde görebileceğiz” demek istiyor. Şu an zaten doğadaki normal olayların bir “düzen” içersinde gittiğini kör gözlüler dahi görebilir. Ancak insanoğlunun kaos olarak adlandırdığı olaylarda da bir düzen olma ihtimali vardır -ki kainat düzensiz değildir-.
Biraz daha dikkatli okumanızı, yorum yapmadan önce, bir ikinci defa daha okumanızı tavsiye ederim.
Son olarak başlık bana ait. O konuda düşüncenizi paylaştığınız için teşekkürler. Ancak ben başlığımı seviyorum…
Açık konuşayım, amacım rastladığım aptalca yorum yapmış birine nerede aptallık yaptığını bildirmekti fakat yazım size gitmiş oldu. Anlayıp, anlamamak size kalıyor.
1. Yeniden okuyarak zaman kaybetmeme gerek yok.Tekrar bakınca yazının size ait olmadığını fark ettim. Fakat çok da önemli değil çünkü bir taraftan sonuçta bu yazı sizin sitenizde yer alıyor, bir taraftan da eleştirim yazıyı yazana yöneliktir.
2. Sorun derlemelerde değil, hakim olmadığı çok önemli bir konuda çok kötü bir yorum yapmasındadır. Sadece aldığı kaynaklardan çeviri yaparak orada bırakması yerinde olurmuş.
3. Siz “demek istiyor” derken kişinin aklından geçenleri nereden biliyorsunuz bilemiyorum çünkü söylediği cümlenin anlamı sizin anlattıklarınızdan bambaşka ve gayet nettir.
Başlık konusuna gelince, “o da neymiş” başlığı alaycı ve küçümseyici bir yaklaşımı gösteriyor.
Poussin
Ben de açık konuşayım zira nezaketen de olsa ima yollu söylenenleri pek anlayacağınız yok.
Öncelikle zahmet edip 2.defa yazarın yorumunu okumuş olmanızı isterdim. Yazının benim olmadığını anlamanıza sevindim, ancak haklısınız benim sitemde bulunmakta ve yazının sonuna kadar arkasındayım. Sebebi de şu: yazının sizin belirttiğiniz şekilde uzaktan yakından bir alakası olmaması. Eğer sizin düşündüğünüz ve ima ettiğiniz şekilde bir yaklaşımı olmuş olsaydı yazarın, bırakın böyle bir yazıyı derlemesi, “altın oran” gerçeğini dahi duymak istememesi gerekirdi!
Kısacası yorumunuz da mantık hatası var. Bu “küçük” farkı göremiyor ve hala anlamsız bir yorum peşinde koşturuyorsunuz. Yazar, etrafındaki olayların tesadüfe dayanmadığını, bunun güzel bir örneğinin altın oran olduğunu ve hatta belki de bizim kaos diye adlandırdığımız şeylerin dahi bir düzeninin olabilceğinden bahsetmiş.
Bu açıklamanın yeterli olduğu düşüncesindeyim. Açıkça görülüyor ki kimsenin aklını okumuş değilim. Bu benim anladığım gerçek, sizin ki hala iddia ettiğiniz gibiyse orasına karışmak istemiyorum ama lütfen burada bu düşüncenizi savunmayın -hele hele “aptalca” gibi ithamlarla.
Başlık konusunda da şunu söyleyeyim. Ben insanların hüsn-ü zannına güveniyorum. “Bir bakalım altın oran da neymiş” anlamı katılan başlığı sizin gibi yorumlayanlara ise tamamen su-i zan etmişler gözüyle bakıyorum. Bu başlık yalın olarak bir yerde bulunsa belki sizin düşündüğünüz anlam çıkabilir ancak yazının tamamı okunduktan sonra böyle bir anlamı nasıl çıkartıyorsunuz anlamadım. Sen kalk başlıkta alay et, sonra da altın oranı tüm açıklığıyla destekleyen bir yazıyı siteye koy!
Gerçekten güzel bir yazı olmuş, kainattaki bu tip şeyler süphesiz ki düşünenler için açık bir yol tabelasıdır.
Kaos konusundaki yorum çok iyi bir nokta buna saldırmadan önce onu düşünelim.
Çok güzel yorumlanmış. Açıklayıcı bilgiler var fakat nerede kullanıldığı açıklanmamış.
çok güzel ama benim aradığım bu değil
Bilgiler için çok teşekkürler, sağ olun.
Bilgiler için çok teşekkürler, çok güzel olmuş. Ödevim vardı, yardımcı oldunuz sağ olun. Bu arada başlık çok güzel olmuş.
Altın oran 4-5 yıldır baktığım tüm cisimlere apayrı bir bakış açısı sunmamı sağladı..Bulduğum her yeni kaynakta biraz daha etkileniyorum.
Ancak esas bikaç yorum yukarda gerçekleşen tartışma bu sitede ilgimi çeken nokta oldu..HeartsMagic seviyenizden dolayı tebrik ederim..
@namal, küçük de olsa bir katkım olduysa ne mutlu bana, teşekkürler.
Sağ ol.
Çok uzun zamandır yazınızla ilgili yorum alıyorsunuz.Ben de yazmadan geçemedim.Konuyu araştırırken okudugum yazıdan keyif aldım.Yani keyif aldım derken zaten bildiğim ve bilmekten hayretler içinde kaldığım bu Altın Oran hakkında Yaratıcı’nın, yarattıkları arasındaki bu sohbetlerden büyük keyif alıyorum.Tekrar teşekkürler yazı için.
Teşekkürler, güzel yazı.
Bilgiler için çok teşekkürler, sağolun.
Tesekkur ettim arkadaşım yazın için,Gayet güzeldi.
tsk ederız bilgiler cok guzel insanlara cok yardımcı oluyorsunuz
By mirc
Gerçekten çok tşk ederim…Çok geniş bir bilgi vermişsiniz…Matematik dergisi yapıcaktım ödev olarak ve altın oran konusundaa en geniş bilgiyi burda buldum sağolun…=)
Yazılar bana ait değil elbette, ancak yaptığım derlemenin birilerinin işine yaradığını görmek sevindiriyor beni. Rica ederim @Hümeyra TÜRÜT, umarım faydası dokunmuştur.