Habitación de Fermat, La

Veya İngilizce ismiyle Fermat’s Room, bizdekiyle Kapan. Bizimki biraz zayıf kaçmış. En azından konuyu okumayan birisi filmi es geçebilir. Hem bizim gibi az Matematikle içli dışlı olanlar da bir şey anlamayabilir. Neyse ben filme döneyim. Bu sefer baştan uyarayım, filmin konusu ve olaylar hakkında biraz detaya ineceğim, ’spoiler’ istemeyenler hemen bıraksınlar okumayı.

Eğer izlemişlerse konuyu ilk görenler hemen Cube serisini hatırlayacaklardır. Belki biraz da Pi canlanacaktır zihinlerinde. Bende de haliyle bu iki filmi hatırlattı Fermat’nın Odası. Hal böyle olunca ilgimi de çekti fakat içten içe İspanyolların bu işi ne kadar iyi kotaracaklarını da düşünmüyor değildim. Yönetmenleri tanımıyordum, oyuncuları tanımıyordum fakat konu üstün körü bakınca ilgi çekici geliyordu.

Fakat baştan belirteyim ki ne yazık ki ikisinin de bıraktığı etkinin üçte birini bile bırakmadı bende. Sebeplerini bilahare açıklayalım. Fakat önce Cube ve Pi’den bahsedelim biraz.

Yazının devamını okuyun »

Bu yazıları RSS beslemesi ile takip edin

Leonhard Euler 15 Nisan 1707′de İsviçre,Basel’de doğmuş ve 18 Eylül 1783′te Rusya St Petersburg’da ölmüştür. Euler’in babası Paul Euler’dir. Paul Euler Basel Üniversitesinde teoloji(ilahiyat) okumuş ve Jacob Bernolli’nin derslerine katılmıştı. Aslında Paul Euler, Jacob Bernoulli’nin kardeşi olan Johann Bernoulli ile beraber üniversite yıllarında bizzat Jacob Bernoulli’nin evinde kalmıştı. Kendisi bir protestan vaizi olduktan sonra, yine bir başka protestan vaizinin kızı olan Margaret Brucker ile evlendi. Daha sonra Leonhard Euler dünyaya geldi ve aile Basel’den çok da uzak olmayan Riehen’a taşındılar. Euler burada büyüdü. Paul Euler bahsettiğimiz gibi biraz matematik çalışmıştı ve oğluna bunları öğretecek kadar temel matematik bilgisi bulunmaktaydı.

Euler ilk öğrenim görmesi için Basel’e gönderildi ve burada büyükannesinin yanında kaldı. Bu okul kendisi için zayıf kalıyordu ve burada matematik öğrenemiyordu. Babasının yaktığı matematik kıvılcımını kendisinin bulduğu yazı ve kitaplarla devam ettirdi. Bu arada bazı özel dersler de alıyordu. Babası oğlunun kendisi gibi bir vaiz olmasını istediği için onu Basel Üniversitesine gönderdi. Henüz 14 yaşındayken 1720′de üst düzey eğitim almadan önce ön temel bilgileri öğrenmek için üniversiteye girdi. Johann Bernoulli yakın zamanda Euler’deki büyük matematik potansiyelini fark etti. Euler bu konuda yayımlanmamış otobiyografisinde şunu söyler:

“Yakın zamanda meşhur bir profesör olan Johann Bernoulli ile tanışma fırsatı buldum… Doğru, kendisi çok yoğun, bu yüzden bana özel ders vermeyi kabul etmedi fakat çok değerli bir tavsiye olan daha zor matematik kitapları okumamı, çalışabildiğim kadar çalışmamı söyledi. Eğer çok zorluk çekersem her Pazar yanına gidip soru sorabilme, anlamadığım yerleri birlikte çalışma izni aldım….”

1723′te Euler felsefedeki master derecesini Descartes ve Newton’un felsefi düşüncelerinin benzer ve ayrılan yönlerini karşılaştırarak aldı. İlahiyat eğitimine 1723 sonbaharında başladı. Fakat Euler samimi bir Hristiyan olmasına rağmen matematikte bulduğu heyecanı burada bulamıyordu. Johann Bernoulli’nin de yardımıyla babasından bölümünü matematik olarak değiştirme iznini aldı.

Euler Basel Üniversitesindeki çalışmalarını 1726′da bitirdi. Bu sene itibariyle Euler’in eşzamanlı eğriler üzerine bir yazılı çalışması da bulunuyordu. 1727 yılında karşılıklı yörüngeler üzerine bir makale daha yayımladı ve Paris Akademsinin gemi direkleri hakkındaki Grand Prize ödülü için kayıt yaptırdı. Ancak bu sene ödül gemiler ile ilgili olan uzman bir matematikçi, Bouguer’a gitti. Ancak Euler yeni bir mezun olarak hiç de azımsanmayacak olan ikincilik ödülünü aldı.

Bu yıl Euler St Petersburg’dan matematik uygulamaları ve mekanik fizyoloji öğretmesi için bir davet aldı. Bu daveti hemen kabul etmedi. Bunun iki sebebi vardı. Birincisi, öğreteceği konular üzerine biraz çalışmak, ikinci olarak sa Basel Üniversitesindeki fizik bölümünün profesörünün ölmesi nedeniyle açılan boşluğa geçmek istemesiydi. Bu arada ilerde bir klasik olacak akustik hakkında bir makale yayımladı. Fakat yaşının çok genç (19) olması nedeniyle buraya atanmadı ve Rusya’ya gitmeye karar verdi ve Basel’den ayrıldı (5 Nisan 1979). 17 Mayıs 1727′de Rusya’ya ulaştı. 2 sene Peter the Great’in karısı olan Catherine 1 tarafından desteklendikten sonra St Petersburg Bilim Akademisine katıldı. Daniel Bernoulli ve Jakob Hermann’ın tavsiyeleri üzerine akademide daha önce karar verilen felsefe bölümü yerine, matematik-fizik bölümüne kabul edildi. St Petersburg kendisi gibi bir çok meslektaşı ile beraber çalışma ve fikir alışverişinde bulunma imkanına sahip oldu.

Euler 1727 ile 1730 yılları arasında Rus ordusunda tıbbi teğmen olarak görev yaptı. St Petersburg’da Daniel Bernoulli ile beraber yaşamaktaydı. Euler 1730′da akademide fizik profesörü oldu ve ordudaki görevini bırakabilme imkanına kavuştu. Daniel Bernoulli akademide Matematik bölümü senior kürsüsünün başına getirildi fakat 1733′de Rusya’dan ayrılınca yerine Euler geçti. Bu sıralarda parasal açıdan refaha kavuşan Euler kendisi gibi bir İsviçreli olan ve St Petersburdaki bir ressamın kızı olan Katharina Gsell ile evlendi. 13 çocukları olmasına rağmen sadece 5′i hayatta kaldı. Euler kucağında bir bebek ve bacaklarında oynayan çocuklar olduğu halde çok büyük matematiksel buluşlar yaptığını söyler.

Euler’in matematik çalışmalarının(ilerde bahsedilecek) dışında birer devlet projesi olan haritacılık, bilim eğitimi, manyetizma, itfaiye araçları, makineler ve gemi mimarisi üzerine de çalışmalar yapmıştır.

Kendi araştırma programının özü şu anda “sayılar teorisi” içinde yer alır. Çalışmaları arasında diferansiyel denklemler, varyasyon matematiği, rasyonel mekanik vardır. O bu üç alanı kendi aralarına çok yakın olarak görmüştür.

Bir çok çalışmasında ve kitabı olan Mechanica’da(1736-37) büyük matematiksel çalışmalarına başladı.

Fakat 1735′de Euler’in ciddi sağlık problemleri ortaya çıktı. Şiddetli ateş neredeyse hayatına mal oluyordu. Kendi hayatını anlatırken 1738′de haritacılık çalışmaları sırasında görme probleminin başladığını, 1740′da ise bir gözünü kaybedip diğeri için tehlike oluştuğunu söyler.

1738 ve 1740 Paris Akademi ödülünü alarak bu senelerde çok büyük bir şöhrete kavuşur. Bu ün kendisine Berlin’den bir davet sağlar. Ancak ilk durumda kendisi St Petersburg’da kalmayı yeğeler. Ancak Rusyadaki politik problemler yabancıların burada kalmasını zorlaştırır. 1741′de Berlin’e geçer. Berlin’de olduğu zamanlarda dahi maaşının yarısını Rusya’dan alır. Bu yüzen, kendisi St Petersburg Akademisi için matematiksel kitaplar ve araçlar alır, ayrıca genç Rusları da yetiştirmeye devam eder.

Berlin’de geçirdiği 25 yıl boyunca 380 makale yayımlar. Varyasyon matematiği, gezegensel yörüngeler, toplar ve balistik, gemi yapımı ve denizcilik, ayın hareketi, diferansiyel matematik hakkında kitaplar yazar. Ayrıca Letters to a Princes of Germany (3 cilt, 1768-72) isminde popüler bilim yazıları yayımlar.

1759′da Berlin Akademisinin başına geçer. Fakat kendisine başkan sıfatı verilmez. Kral Frederick tüm sorumludur. Bu arada kral ve d’Alembert ile yaşadığı problemler, kralın d’Alembert’a başkanlık teklif etmesi (Rusyaya taşınmayı kabul etmese de) Eulerin buradan ayrılma kararı alması için yeterli olur.

1766′da St Petersburg’a döner. Kısa bir zaman sonra Euler tamamen kör olur. 1771′de evi yanar ve sadece kendisini ve matematiksel el yazmalarını kurtarabilir. Yangından sonra bir katarakt ameliyatı geçirir ve Birkaç gün gözü düzelir. Ancak kendisine yeterince bakmadığı için tamamen karanlığa gömülür.

Fakat Euler’de öyle bir hafıza vardır ki, görmemesine rağmen optik, cebir, ayın hareketi konusunda çalışmalar yapar. Hatta Rusyaya dönüşünden ve tamamen görmez oluşundan sonra (yaşı 59 idi) yaptığı çalışmalar, hayatı boyunca yaptıklarının yarısını oluşturur.
Tabi ki bu çalışmaları kendisi yapmazdı. Yardımcıları oğulları olan Johann Albrecht Euler (St Petersburg Akademisi Fizik kürsüsü 1766), asker olan Christoph Euler ve akademiden arkadaşları olan Krafft, Fuss, Lexell’dir.

Örneğin Euler’in çalışmları ve bu Albrecht ve Krafft ve Lexell’in yardımıyla ayın hareketi hakkında 775 sayfalık bir kitap yayımlamıştır. Fuss’ın yardımıyla 250′nin üzerinde makale yayımlamıştır.

Euler 1783′te hayata gözlerini yumdu. Yushkenevich ölümü hakkında şunları söyler:
“18 Eylül 1783′te Euler günün ilk yarısını normal bir şekilde geçirdi. Torunlarından birine matematik dersi verdi, tebeşir ile iki tahtada balonların hareketi hakkında hesaplamalar yaptı, daha sonra Lexell ve Fuss ile yeni keşfedilen Uranüs gezegeni ile ilgili fikir alışverişinde bulundu. Saat 5 gibi beyin kanaması geçirdi ve bilincini kaybetmeden önce “Ölüyorum” diyebildi. Saat 11 gibi öldü.”

Ölümünden sonra St. Petersburg Akademisi yayımlanmamış yaklaşık 50 yıllık makalelerini yayımladı.

Euler’in matematik için yaptıkları böyle bir makale için fazla gelir ancak yine de bir fikir verebilir. Kendisi gelmiş geçmiş en verimli matematikçidir. Modern analitik geometri ve trigonometride sin,cos ve benzerlerini bir fonksiyon olarak algılayarak büyük sıçramalar yapmıştır.

Geomtri, matematik(calculus) ve sayı teorisi hakkında kesin ve gelişmeye meyilli katkılar yaptı. Leibniz’in diferansiyel matematiğini ve Newton’un matematik analizdeki değişme hızını birleştirdi. Diferansiyel denklemler için beta ve gamma fonksiyonlarını ve integral çarpanını buldu. Süreğen mekanik, lunar teori, 3 cisim problemi, elastikiyet, akustik, ışığın dalga teorisi, hidrolik ve müzik üzerine çalışmalar yaptı. Analitik mekanik temellerini özellikle Theory of the Motions of Rigid Bodies (1765) kitabında attı.

Bir fonksiyon için f(x) (1734), doğal logaritma tabanı için e (1727), -1′in kökü için i (1777), pi için π gösterimleri , toplam sembolü gibi gösterimleri Euler’e borçluyuz.

Euler’in sayı teorisi ile ilgili ilgisi Bernoulliden gelir. Fakat bunu canlandıran Goldbach olmuştur. 1729, Euler’e Fermat’nın 2^n+1 ifadesinin eğer n 2′nin bir katı ise her zaman asal sayı olacağı varsayımını bilip bilmediğini sordu. Bunun üzerine Euler bu varsayımı 1,2,4,6,8 ve 16 için doğruladı. Sonunda 1732′de bir sonraki durum olan 2^32+1=4294967297 sayısının 641 ile bölündüğünü ve dolayısıyla asal olmadığını ispatlamış oldu. Fermat’nın başka ispat edilmemiş varsayımları üzerinde de çalıştı ve Euler phi fonksiyonunu matematiğe kazandırdı.

Euler’in gençlik zamanında kendisine ün getiren en büyük şey ise Basel problemine getirdiği çözümdür.

1739′da C için Bernoulli sayılarına göre rasyonel katsayıları buldu.
Bir başka çalışması meşhur Eueler sabitini 1735′de açıkladığı sonsuz serilerle ilgili ilgilidir.

Euler’in sayı teorisi hakkında çalıştığı bir başka konu ise Fetmat’nın Son Teoremi hakkında olanıdır. İlk olarak n=3 için olan ispatı Euler yapmıştır.

Birisi çıkıp da matematiksel analizin Euler ile başladığını iddia etse yanlış söylemiş olmaz. 1748′de Introductio in analysin infinitorum isimli kitabında Johann Bernoulli’nin düşüncelerini daha kesin olarak belirtmiştir ve matematiksel analizi fonksiyonların üzerinde bir çalışma olarak tanımlamıştır.

Bu ve daha fazlasını http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Euler.html adresinde bulabilirsiniz.

BİR BAŞKA AÇIDAN EULER – Matematiğin Tek gözlü devi!

Euler, inanılmaz bir sezgi gücüne ve müthiş bir belleğe sahipti, sayfalar alabilecek koskoca bir hesabı, hiç kağıt kalem kullanmadan akıldan yapabildiği söylenirdi. Bütün Avrupa’da “analizin vücut bulmuş hal dili” diye ün salmıştı. Leonhard’ın papaz olan babası onun da kendisi gibi İlahiyat okuyup din adamı olmasını istiyordu. O da babasının sözünü dinledi ve Basel Üniversitesinde ilahiyat ve İbranice okudu.

Ancak Basel’de ünlü Bernoulli ailesi de yaşıyordu ve bu ailenin ünü Bach ailesinin müzikteki yeri gibiydi. Tüm Avrupada en öne çıkmış sekiz beyni bu aile yetiştirmişti. Bu aileden Daniel ve Nikolaus Eulerin iki kadim dostuydu ve babasından onun Matematik öğrenimi almasını rica ettiler. Babası da zamanında Jakob Bernoulli’den ders aldığı için istemeye istemeye d eolsa bu teklifi kabul etti.

Euler kısa bir süre sonra Berlin ve St Petersburg’a geçti ve burda saraylarda yaşamaya başladı. Kariyerine önce Rus çarlarının yanında başladı, sonra da Prusya hükümdarının himayesinde Berlin Akademisine geçti. Son olarak Büyük Katerina döneminde tekrar Rusyaya dönerek son yıllarını burada geçirdi.

Meslek hayatı boyunca denizcilikten finans işlerine, akustikten sulamaya kadar çeşitli problemlerle uğraştı. Pratik problem çözme dünyasında bulunmak, Euler’in matematik yeteneğini köreltmedi, aksine üzerinde çalıştığı her iş yeni ve dahice matematik buluşlarının ilham kaynağı oldu. İnatçı bir tutkuyla çalışıp aynı gün birden fazla makale yazdığı oluyordu. Akşam yemeği için yapılan iki çağrı arasında yayınlanmaya değecek bütün bir hesabı karalayıverdiğini anlatır. Euler, tek bir anını bile boş geçirmiyor, bir eliyle bebek sallasa, diğeriyle ispat taslağı çıkarmayı sürdürüyordu.

Euler’in en büyük başarılarından biri algoritmik yöntemin geliştirilmesidir. Bu imkansız gözüken problemleri ele almayı sağlayan bir yöntemdi. Örneğin Ay’ın gelecekteki evrelerinin yüksek bir kesinlikte tahmin edilmesi böyle bir problemdi ve denizcilik planlarının çıkartılması bakımından büyük önem taşıyordu. Newton bir gök cisminin diğeri etrafında çizdiği yörüngeyi tahmin etmenin pek de zor olmadığını çoktan göstermişti ancak Ay söz konusu olunca durum o kadar da basit değildi. Ay Dünya’nın çevresinde döner ama Güneş de üçüncü bir cisim olarak işe karıştığından durum çok karışıktır. Dünyayla Ay birbirini çekerken Güneş de Dünyanın konumunu bozmakta, bu da Ay’ın yörüngesine ayrı bir etki yapmaktadır. 18.yy’da herhangi iki cismin birbirini etkileyişi bazı denklemlerle saptanabiliyordu ama o dönem matematikçileri üçüncü bir cismi hesaplara dahil edemiyordu. Bugün bile “üçüncü-cisim problemleri” denilen bu meseleyi kesin bir şekilde çözmek olanaksızdır.

Euler denizcilerin aslında Ay’ın evrelerini çok kesin olarak bilmeye ihtiyaçları olmadığını anlamıştı. Birkaç deniz mili içindeki konumlarını bilecek kadar bir kesinlik yeterliydi. Dolayısıyla Euler de mükemmel olmayan ama yeterli kesinliği sağlayabilen bir formül geliştirdi. Algoritma denilen bu yöntemde önce kaba bir yaklaşık sonuç elde ediliyor, sonra bu sonuç tekrar algoritmaya yerleştirilerek daha iyi bir sonuç elde ediliyordu. Bu böyle devam edip gidiyordu. İşlemi yaklaşık 100 kere tekrar eden Euler, Ay’ın konumunu donanmanın gereksindiği kesinlikte saptayabilmişti. Algoritmasını Britanya Donanmasına sundu ve karşılığında 300 Sterlin ödül aldı.

Euler kendisine verilen her problemi çözen biri olarak tanınmıştı. Bu bilimi bile aşan bir yetenekti. Büyük Katerina’nın yanında görev yapmaktayken, büyük Fransız filozofu Denis Diderot ile sıkı bir tartışmaya girdi. Diterot tavizsiz bir ateistti ve o sırada zamanını Rusları ateist yapmaya adamış bulunuyordu. Çileden çıkan Katerina Euler’den bu tanrısız Fransızın çalışmalarını durdurmasını istedi.

Euler konu üzerine biraz düşündükten sonra, Tanrı’nın varlığını cebirden yararlanarak ispat edebileceğini ileri sürdü. Büyük Katerina, Euler ve Diderot’yu saraya davet etti, saray mensuplarını da bu teolojik tartışmayı izlemeleri için bir araya getirdi. Euler topluluğun önüne çıkıp konuştu:

“Efendim, (a+b^n)/n=x, dolayısıyla Tanrı vardır; buyurun bakalım!”

Cebirden anlamayan Diderot, Avrupa’nın en büyük matematikçisine karşı çıkamadı, öylece kalakaldı. Aşağılanmış olarak St. Petersburg’dan ayrıldı, Paris’e döndü.

Euler ve Köprü Problemi

Rusya’da bulunduğu sıralarda çözdüğü bir başka problem de Prusyadaki Königsberg, şimdiki adıyla Kaliningrad kenti ile ilgiliydi. Pregel nehrinin kıyılarında kurulmuş olan kent, birbirine 7 köprü ile bağlanmış dört bölümden oluşuyordu.

Kentin bazı meraklı sakinleri kendilerine, aynı köprüden iki kez geçmeye gerek kalmadan bütün köprüleri aşarak şehri dolaşmanın bir yolu olup olmadığını sormuşlardı. Ne kadar yol denendiyse , hepsi de boşa çıktı. Euler de uygun bir rota çizemedi ancak böyle bir gezinti yapmanın neden imkansız olduğunu açıklamayı başardı.

İşe bir kent planı üzerinde çalışarak başladı ve kentin bölümlerini noktalar, köprüleri ise çizgiler halinde gösterdiği basit bir şema oluşturdu:

Sonra da başarılı bir gezi yapabilmek için bir noktanın bağlandığı çizgilerin sayısının bir çift sayı olması gerektiğini ileri sürdü. Çünkü gezinti sırasında herhangi bir kara parçasından geçmek isteyen yolcunun oraya bir köprüden geçerek girmesi, sonra da başka bir köprüden geçerek çıkması gerekiyordu. Bunun sadece iki istisnası vardır: gezinin başladığı ve bittiği yer. Başlangıç durumunda yolcu bulunduğu kara parçasından ayrılmak için sadece bir köprüye ihtiyaç duyar., bitişte de yine tek bir köprüden geçerek son kara parçasına ayak basar. Eğer gezi farklı iki yerde başlayıp bitiyorsa, bu iki kara parçasına bağlanan köprü sayısı tek olmak zorundadır. Bunun karşılık başlangıç ve bitiş yeri aynıysa, diğer bütün noktalar gibi bu noktanın da çift sayıda köprüye sahip olması gerekir.

Bu şekilde düşünen Euler, şu genel sonuca vardı: köprü ağı ne şekilde olursa olsun, her köprüden sadece bir kez geçerek geziyi tamamlayabilmek için ya her kara parçasının köprü sayısı çift ya da tamı tamına iki kara parçasının köprü sayısı tek olmak zorundaydı. Königsberg toplam dört kara parçasına yayılmıştır ve bunların her biri komşu yerlere tek sayıda köprüyle bağlanmıştır. Üç noktadan üçer köprü, birinden de beş köprü çıkmaktadır. Böylece Euler hem Köngsberg’i her köprüden sadece ve sadece bir kez geçerek dolaşmanın neden imkansız olduğunu göstermiş hem de dünyanın herhangi bir yerindeki herhangi bir şehrin köprü ağına uygulanabilecek bir kural oryata koymuştur. Argümanı estetik bir basitliğe sahiptir ve belki de akşam yemeği öncesinde karalayıverdiği mantık problemlerinden biridir.

Königsberg bilmecesi, uygulamalı matematikte ağ problemi diye anılan türün bir örneğidir. Ancak Euler’e daha soyut ağları ele alma konusunda ilham vermiştir. Euler bütün ağ sistemlerinin temelini oluşturan bir doğruyu bulmaya girişti ve sadece birkaç mantıksal adımdan yararlanarak ağ formülünü geliştirdi. Bu formül, herhangi bir ağı betimleyen üç özellik arasındaki kalıcı ilişkiyi dile getirir:

V+R-L = 1
V = Ağdaki köşelerin (kesişme noktaları) sayısı,
L = Ağdaki çizgilerin sayısı
R = Ağdaki bölgelerin (kapalı alanların) sayısıdır.

Euler’in iddiasına göre, herhangi bir ağ sisteminde köşelerin ve alanların sayıları toplanıp bundan çizgilerin sayısı çıkarıldığında sonuç her zaman 1′dir. Örneğin alttaki şekilde bütün ağlar bu kurala uymaktadır.

Bu formülü bir çok ağ için sınadığımızı düşünebiliriz. Eğer her seferinde doğru çıkıyorsa, bütün ağlar için doğru olduğunu kabul etmeye yatkınlık duymaya başlarız. Bu, bilimsel bir kuram için yeterli kanıt sayılır ancak bir matematik teoremini doğrulamaya yetmez. Formülün bütün olası ağlar için geçerli olduğunu göstermenin tek yolu kusursuz bir argüman oluşturmaktır. Euler’in yaptığı da buydu.

Euler olabilecek en basit ağı düşünerek işe başladı, bu da yandaki şekilde a maddesinde görüldüğü gibi tek bir köşeden ibarettir. Bu ağ için formülün doğru olduğu açıkça bellidir: bir köşe var, çizgi ve alan yok, dolayısıyla:

V+R-L = 1 + 0 – 1 = 1

Eulerin bundan sonra yaptığı bu en basit ağa bir ekleme yapıldığında ne olacağını sormaktı. Bir köşeye herhangi bir ek yapılacaksa, mutlaka bir çizgi çekmek gerekir. Bu çizgi ya ya mevcut köşeyi kendi kendisine bağlar ya da yeni bir köşeye bağlar.

b maddesinde görüldüğü gibi kendi kendisine bağlanmasına bakalım. Çizginin eklenmesiyle birlikte ortaya bir de yeni alan çıkıyor. Böylece ağ formülü de geçerliliğini koruyor çünkü eklenen alanla (+1) eklenen çizgi (-1) birbirini dengeliyor. Bu şekilde daha ne kadar çizgi eklense, her çizgi bir de yeni akan oluşturacağından, formül hep doğru kalacaktır.

İkinci olarak da çizginin yeni bir köşeye bağlandığı durumu ele alalım, c maddesi. Bir kez daha ağ formülünün doğru kaldığını görüyoruz çünkü bu defa da eklenen köşeyle (+1) eklenen çizgi (-1) birbirini dengeler. Bu şekilde eklenen yeni çizgiler de daima yeni bir köşe doğuracağından ağ formülü yine hep doğru olacaktır.

İşte ispat için Euler’e gereken sadece bu kadardı. Şöyle akıl yürütüyordu: ağ formülü bütün ağların en basiti olan tek köşe için doğrudur. Ayrıca başka her ağ da, ne kadar karmaşık olursa olsun, bu en basit ağa teker teker yeni çizgiler ekleyerek oluşturulur. Her yeni çizgi eklenişinde ağ formülü doğru olarak kalacaktır. çünkü hep ya yeni bir köşe ya da yeni bir alan eklenmiş olacak, bu da dengeleyici bir etki yapacaktır. Euler basit ama çok güçlü bir strateji geliştirmişti. Formülün en temel ağ için, yani tek bir köşe için doğru olduğunu ispat ettikten sonra ağı daha karmaşık hale getirecek her türlü işlemin, formülün geçerliliğinin muhafaza etmeyi sürdüreceğini göstermişti. Dolayısıyla formül, sonsuz sayıdaki bütün olası ağlar için doğruydu.

Fermat’nın Son Teoremi Ve Euler

Euler Fermat’nın Son Teoremi ile ilk karşılaştığında, onu da benzer bir stratejile çözebileceğini ummuş olmalı. Bu iki problem farklı matematik alanlarından gelse de ortak bir noktaları var: ikisi de sonsuz sayıdaki nesnelerden bahsediyor. Fermat’nın Son Teoremine göre sonsuz sayıda denklem için tam sayılı hiçbir çözüm bulunmuyor. Fermat aşağıdaki denklem için tam sayılı çözüm bulunmadığını söylemişti:

n 2′den büyük herhangi bir sayı olduğunda, x^n +y^n=z^n

Bu denklem sonsuz sayıda denklemler kümesini temsil eder.

Euler bu denklemlerden birinin çözümünün olmadığını ispat ettikten sonra, bu sonucu diğer bütün denklemleri kapsayacak şekilde genişletmenin bir yolu olup olmadığını sordu kendine, tıpkı ağ probleminde olduğu gibi.

İspata Fermat’nın notlarından keşfettiği bir ipucu ile başladı. Gerçi Fermat ispatı hiçbir yere yazmamıştı ancak Arithmetika’nın bir kenarına teoremin özel bir şıkkı olan n=4 için bir ipucu bırakmıştı. Fermat “sonsuz iniş yöntemi”ni kullanarak n=4 için denklemin çözümü olmayacağını ispat etmişti. İpucundan bu çıkıyordu. İşte Euler’de bunu kullanarak diğer şıklar için denedi. Kısa bir süre sonra n=3 için bunu göstermeyi başardı. Böylece tam 100 sene sonra ilk defa bir matematikçi Fermat’nın Son Teoremi için bir ilerleme kaydetmişti. Euler bunu ispat etmek için sanal sayı olan acayip bir kavrama baş vurmuştu ki bu 16. yy’da keşfedilen yeni bir şeydi. Bu muazzam bir başarıydı ancak Euler bu başarıyı diğer seçenekler için bir türlü gösteremedi. Tüm denemeleri hep sonuçsuz kalmıştı. Tarih’te matematiğe katkısı herkesten daha fazla olan bu adam Fermat’nın Son Teoremi karşısında aciz kalmıştı. Tek tesellisi ise dünyanın bu en zor probleminin çözümü yönünde ilk hamleyi gerçekleştirmiş olmasıydı.

Euler bu başarısızlıktan yılmadı , öldüğü güne kadar parlak matematik buluşlarına devam etti. Son yıllarda tamamen kör olması bu gerçeği daha da şaşırtıcı kılmaktadır. Görme duygusnu kaybetmesi 1735′lere denk düşer. O yıl Paris Akademisi bir astronomi probleminin çözümü için ödül koymuştu. Soru o kadar karmaşık görünüyordu ki, matematikçi çevresi Akademiden çözüm için Birkaç ay süre talep etti. Ancak Euler için bu gereksizdi. Kafasını bu işe taktı, üç gün hiç durmadan çalıştı ve sonunda hak ettiği ödülü aldı. Ne var ki yaşadığı stres ve kötü çalışma koşulları onun gözlerinden birine mal olmuştu.

Bu aşamadan sonra Büyük Friedrich sarayına Euler’in yerine Lagrange’ı getirdi ve Euler Rusyaya geri dönmek zorunda kaldı. Orada Büyük Katerina kendisine sahip çıktı ve bu “matematiğin tek gözlü devi”ni memnuniyetle karşıladı.

Bir gözünü kaybetmesi onun için bir engel değildi. “Artık daha az sapmayla bakacağım” diyordu. Kırk yıl sonra, yani 60 yaşlarındayken durumu hızla kötüleşti. Sağlam gözünde katarakt başlamıştı ve kendisi olacakları tahmin edebiliyordu. Fakat bu da kendisini yıldırmadı, sağlam gözünü yumarak antrenmanlara başladı. Bir süre sonra sağlam gözü de kör olmuştu. Yaptığı hazırlıklar bir süre işe yaradı ancak Birkaç ay sonra yazısı okunmayacak hale gelince oğlu Albert kendisine yardım etmeye başladı, onun söylediklerini yazıyordu.

Euler bu halde 17 yıl daha matematikle uğraştı ve öncekinden daha verimli oldu. Muazzam zekası kağıt kalem olmadan kavramlarla oynamasına izin veriyor, inanılmaz belleği sayesinde de beyni bir tür zihinsel kütüphane gibi işliyordu. Ay’ın evrelerine ilişkin hesaplamaları bu kör olduğu dönemde yaptığı da kayda değer bir olgudur.

Kaynak: Fermat’nın Son Teoremi, Simon Singh,Çev:Sabir Yücesoy,Pan Yayıncılık.