Habitación de Fermat, La

Veya İngilizce ismiyle Fermat’s Room, bizdekiyle Kapan. Bizimki biraz zayıf kaçmış. En azından konuyu okumayan birisi filmi es geçebilir. Hem bizim gibi az Matematikle içli dışlı olanlar da bir şey anlamayabilir. Neyse ben filme döneyim. Bu sefer baştan uyarayım, filmin konusu ve olaylar hakkında biraz detaya ineceğim, ’spoiler’ istemeyenler hemen bıraksınlar okumayı.

Eğer izlemişlerse konuyu ilk görenler hemen Cube serisini hatırlayacaklardır. Belki biraz da Pi canlanacaktır zihinlerinde. Bende de haliyle bu iki filmi hatırlattı Fermat’nın Odası. Hal böyle olunca ilgimi de çekti fakat içten içe İspanyolların bu işi ne kadar iyi kotaracaklarını da düşünmüyor değildim. Yönetmenleri tanımıyordum, oyuncuları tanımıyordum fakat konu üstün körü bakınca ilgi çekici geliyordu.

Fakat baştan belirteyim ki ne yazık ki ikisinin de bıraktığı etkinin üçte birini bile bırakmadı bende. Sebeplerini bilahare açıklayalım. Fakat önce Cube ve Pi’den bahsedelim biraz.

Yazının devamını okuyun »

Bu yazıları RSS beslemesi ile takip edin

Henüz izledim ve ilgimi çekti? Doğruların kesişmeleriyle hesaplanan bir çarpma yöntemi, hoş başka günlüklerde de gördüm ama madem Matematikçiyiz bizde de bulunsun:

Bunlardan bir sürü var ama bu üçünü seçeyim dedim. İlki genelde bilinen bir cevap ancak son ikisi oldukça güzel.

Resim her şeyi anlatıyor :)

Üniversite yıllarında duymuştum adını. İsmine açılan dersi almak nasip olmamıştı ancak giren arkadaşlardan ününü duymuştum bu genç yaşta büyük işler beceren ve yine genç yaşta trajik bir hadiseyle hayata veda eden matematik sevdalısının. Okumaya sabrı olanlar için işte Galois’nın ilginç hayat hikayesi.

Evariste Galois 25 Ekim 1811′de, yani Fransız Devrimin’den sadece 22 yıl sonra, Paris’in güneyinde küçük bir köy olan Bourg-la-Reine’de doğdu. Napoleon Bonaparte gücünün doğruğundaydı o sırada ama bir yıl sonraki Rusya seferi felaketle sonuçlanacaktı. 1814′te sürgüne gönderilen Napoleon’un yerine Kral XVIII.Louis geçti. 1815′te Elbe adasından kaçan Napoleon, Paris’e girip iktidarı ele geçirdi ama yüz gün sonra Waterloo’da yenilip tahtı tekrar XVIII.Louis’ye bırakmak zorunda kaldı. Galois bu gibi bir karışık durumun ortasında yetişti. O her zaman politik çekişmelerin ortasındaydı ve bu durum hem parlak bir akademik kariyerin yarıda kalmasına neden oldu hem de Galois’nın çok zamansız ölümüne.

Galois’nın politikaya duyduğu ilgi herkesin hayatını etkileyen genel karışıklıkların yanı sıra, babası Nicholas-Gabriel Galois’dan da geliyordu. Evariste henüz 4 yaşındayken, babası Bourge-la-Riene belediye başkanı seçilmişti. Napoleon’un zaferle geri döndüğü dönemdi bu ve baba Galois’nın inançla savunduğu liberal fikirler toplumun genel havasıyla uyum içindeydi. Bu kültürlü ve ince ruhlu adam belediye başkanlığı görevinin ilk yıllarında bütün bölge halkının saygısını kazanmış, hatta XVIII.Louis tahta döndükten sonra bile seçildiği mevkiini koruyabilmişti. Politika dışında başlıca hobisi nükteli şiirler yazmaktı, kent toplantılarında bunları okur, seçmenlerini eğlendirirdi. Ne var ki, bu hoş dizeler yaratma yeteneği yıllar sonra sonunu hazırlayacaktı.

Evarist Galois 12 yaşında okula başladı, prestijli ama hayli sıkı bir kurum olan Louis-le-Grand Lisesi’ne girdi. Önceleri hiç matematik dersi almadı, notları iyi sayılırdı ama olağanüstü bir parıltı da göstermiyordu. Ancak ilkokuldaki ilk döneminde bütün hayatını etkileyebilecek bir şey oldu. Louis-le-Grand Lisesi eski bir Cizvit okuluydu ve yakında tekrar papazların denetimine verileceğine dair söylentiler çıkmıştı. O sıralarda Cumhuriyetçilerle Kralcılar arasında bitmek bilmez bir mücadele oluyor, iki taraf da XVIII.Louis ile halk temsilcileri arasındaki güç dengesini kendi lehine değiştirmeye çalışıyordu. Papazların etkisinin artması da bu dengede halktan krala doğru bir kayma demekti. Genellikle Cumhuriyetçilere yakınlık duyan Louis-le-Grand lisesinin öğrencileri bir ayaklanma planladı, ancak girişimleri fark eden okul müdürü Monsieue Berthod işin başını çeken bir düzine kadar öğrenciyi derhal okuldan attı. Ertesi gün de kalan üst sınıf öğrencilerinden bir bağlılık göstergesi olarak XVIII.Louis onuruna kadeh kaldırmalarını istedi, isteği reddedilince de yüz kadar öğrenciyi daha okuldan attı. Galois bu başarısız isyana katılamayacak kadar küçüktü henüz. Böylece okulda kalmış oldu ama yine de arkadaşlarının böyle aşağılandığını görmek, cumhuriyetçi eğilimlerini daha da alevlendirmiş olsa gerek.

Galois ilk matematik dersine 16 yaşındayken girdi. Öğretmenlerinin gözünde bu ders, onu düzgün bir öğrenci olmaktan çıkartıp azgın biri haline getirecekti. Okul raporlarında diğer bütün konuları boşladığı, sadece bu yeni tutkuya konsantre olduğu yazılıydı:

Bu öğrenci sadece yüksek düzeydeki matematik konularını çalışmaktadır. Matematik deliliği çocuğu sarmış bulunuyor. Sanırım onun için en iyisi, yalnızca bu konuda eğitim görmesine ebeveyni tarafından izin verilmesidir. Aksi takdirde boşuna vakit kaybedecek, öğretmenlerinin canını sıkıp bol bol ceza almaktan başka bir şey yapmayacaktır.

Matematik sevdası kısa sürede öğretmeninin kapasitesini aştığı için, Galois o dönem ustalarınca yazılmış en son kitapları okumaya başladı. En karmaşık kavramları hızla yalayıp yuttu ve daha 17 yaşındayken Annales de Gergonne’da ilk makalesi yayımlandı. Dahinin önündeki yol belliydi, deha başını almış yolunda yürüyordu; ne yazık ki onun bu saf parlak zekası, kendi ilerlemesinin önündeki en büyük engeldi aynı zamanda. Galois’nın lise sınavlarını geçmek için gerekenden çok daha fazla matematik bilgisine sahip olduğu besbelliydi ama bulduğu çözümler çoğu kez öyle yenilikçi ve karmaşık oluyordu ki, sınav hocaları tarafından değerlendirilemiyorlardı. Daha beteri, kafasının içinde sayısız hesaplar yaparken, düşüncelerini açık seçik bir tarzda kağıda dökme zahmetine girmiyor, bu da zaten yetersiz kalan hocalarını iyice şaşırtıp kızdırıyordu.

Genç dahinin aceleci ve gözüpek tavrı durumu düzeltmek şöyle dursun, hocalarının da, yoluna çıkan başka herkesin de tepkisini çeken bir şeydi. Galois ülkenin en prestijli öğrenim kurumu olan Ecole Polytechnique’e girmek için başvurduğunda, kaba saba hali ve sözlü sınavda ifade gücünü yetersiz bulunması nedeniyle kabul edilmedi. Oysa bu okula girmeyi çok istemişti; hem akademik nitelikleri nedeniyle hem de cumhuriyetçi faaliyetin bir kalesi olduğundan. Bir yıl sonra başvurusunu yineledi ama yine sözlü sınav sırasında ortaya çıkan mantık sıçramaları, sınav hocası Monsieur Dinet’nin aklını karıştırmaktan başka işe yaramadı. İkinci kez reddedileceğini sezen ve parlak zekasının takdir edilmeyişine öfkelenen Galois kendini kaybedip Monsieur Dinet’ye bir kartahta silgisi fırlattı ve silgi hedefini buldu. Polytechnique’in kutsal koridorları artık tamamıyla kapanmıştı.

Bu başarısızlıkların yıldırmadığı Galois kendi matematik yeteneğine güvenini yitirmeden özel araştırmalarını sürdürüyordu. En çok ilgilendiği konu da denklemlerin, örneğin ikinci derece denklemlerin çözümüydü. İkinci derece denklemlerin genel biçimi şöyledir:

ax^2 + bx + c = 0
Bu denlemde a,b ve c herhangi bir değere sahip olabilir. Mesele denkleme uygun x değerlerini bulmaktır. Her defasında deneme yanılma yöntemini uygulamak yerine matematikçiler çözümleri hesaplamaya yarayan bir formülü tercih etmektedir. Neyse ki, böyle bir formül bulunmuştur:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}

Bütün yapılması gereken, bu formüle a,b ve c değerlerini yerleştirip x değerlerini hesaplamaktır.

İkinci derece denklemler polinom adı verilen çok geniş bir denklem grubunun parçasıdır aslında. Örneğin üçüncü derece denklemler, biraz daha karmaşık bir polinom tipini oluşturur:

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0

Böyle bir denklemi daha karmaşık kılan, x^3 teriminin eklenmiş oluşudur. Bir de x^4 terimi ekleyecek olursak, polinomların bir üst düzeyine, dördüncü derece denklemlere varmış oluruz:

ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0

19. yüzyılda matematikçiler üçüncü ve dördüncü derece denklemleri çözmeye yarayan formüllere sahipti ancak beşinci derece denklemleri çözmenin yolu bilinmiyordu. Beşinci derece denklemler şu şekilde gösterilir:

ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f = 0

Galois beşinci derece denklemlerin çözümü için bir formül bulmayı takıntı haline getirmişti. O dönemin en zorlu meselelerinden biriydi bu. Henüz 17 yaşındaki Galois’nın çalışmaları, konuyla ilgili iki araştırma yazısını Bilimler Akademisi’ne sunacak kadar ilerlemiş bulunuyordu. Makaleleri değerlendirecek kişi Augustin-Louis Cauchy’ydi. Cauchy genç Galois’nın çalışmasından, Akademi’nin Matematik Büyük Ödülü için aday gösterecek kadar çok etkilenmişti. Yarışmaya katılabilmek için iki araştırmayı tek bir makale halinde birleştirmek gerekiyordu. Bu yüzden Cauchy yazıları Galois’ya geri gönderip yarışma için başvuru yapmasını beklemeye koyuldu.

Öğretmenlerinin eleştirisini ve Ecole Polytechnique’ten aldığı olumsuz yanıtları atlatmayı başaran Galois’nın dehası, kabul görmenin eşiğine gelip dayanmıştı artık. Ama izleyen üç yılda yaşanacak bir dizi kişisel ve mesleki trajedi bütün bu tutkuları silip süpürecekti. Temmuz 1829′da Galois’nın babasının belediye başkanlığını sürdürdüğü Bourg-la-Reinne’e yeni bir Civit papazı geldi. Belediye başkanının cumhuriyetçi eğilimlerine karşı çıkarak görevden uzaklaştırılması için kampanya başlattı, bir yandan da gözden düşmesini sağlayacak söylentiler yayıyordu. Entrikacı papazın en çok istismar ettiği şey de Nicolas-Gabriel Galois’nın zeka ürünü olan şiirleriydi: belde sakinleriyle alay eden, belediye başkanının kaleminden çıkmaymış gibi gösterdiği son derece bayağı dizeler yazıp dağıtıyordu. Yaşlı Galois bu rezilliğe dayanamadı, öyle bir utanca kapıldı ki, intihar etmek dışında onurlu başka bir yol kalmadığına karar verdi.

Babasının cenaze töreni için gelen Evariste Galois, papazın halk arasında yarattığı bölünmeleri kendi gözleriyle görecekti: tabut mezara indirilirken, töreni yöneten Cizvit papazıyla belediye başkanının artık komployu fark etmiş bulunan destekçileri arasında bir itişme baş gösterdi. Papaz kafasından ciddi şekilde yaralandı, itişme büyük bir kargaşaya dönüştü ve tabut da hiç bir tören yapılmadan çukura bırakılıverdi. Fransız kurum ve geleneklerinin böyle küçük düştüğünü görmek, Galois’nın ateşli cumhuriyet taraftarlığını daha da keskinleştirdi.

Paris’e dönen Galois iki yazısını birleştirme işine girişti ve ortaya çıkan ürünü son başvuru tarihinden bir hayli önce, jüriye iletilmek üzere Akademi’nin sekreterliğini yapmakta olan Joseph Fourier’ye ulaştırdı. Beşinci derecede denklemler için bir çözüm getirmiyordu bu çalışma ancak çok parlak, yol gösterici bir bakış sağlıyordu. Cauchy dahil bir çook matematikçi Galois’nın yarışmayı kazanacağından neredeyse emindi. Ancak, Galois ve arkadaşlarını şoka uğratan bir durum çıktı ortaya: Galois sadece ödülü kazanamamış değildi, yarışmaya resmen katılamamıştı bile. Sonucun açıklanmasından bir kaç hafta önce Fourier ölmüştü ve jüriye aktarılan bir yığın başvurunun arasında Galois’nın makalesi yoktu. Bir daha da izine rastlanmadı. Bir Fransız gazeteci bu haksızlığı şöyle anlatmıştı:

Geçtiğimiz yıl, 1 Mart tarihinden önce Monsieur Galois, Enstitü sekreterine nümerik denklemlerin çözümüyle ilgili bir makale iletti. Çalışmanın Matematik Büyük Ödülü için açılan yarışmaya katılması bekleniyordu. Ödülü hak etmiş bir çalışmaydı bu, çünkü Lagrange’ın halledemediği bazı güçlükleri çözebilecek nitelikteydi. Monsieur Cauchy de konuya katkılarından dolayı yazarı bir hayli övmüştü. Ya sonra? Makale kaybolup gitti ve bu genç bilim adamı yarışmaya bile katılamadan, ödül sahibini buldu.Le Globe,1831

Galois makalesinin, politik bir tarafgirlik içinde bulunan Akademi’de bilerek yok edildiğini düşünüyordu. Ertesi yıl, bir sonraki yazısı Akademi tarafından reddedilince, bu kanısı daha da güçlendi. Red cevabının gerekçesi şöyleydi: “Yazarın tezi, sağlamlığını sınamamız için yeterli ölçüde açık ve geliştirilmiş bulunmamaktadır.” Kendisini matematik topluluğundan dışlamayı amaçlayan bir komplo kurulduğu sonucuna varan Galois, araştırma işini bırakıp cumhuriyetçilik davası için savaşmaya karar verdi. O sıralar, Ecole Polytechnique’ten biraz daha az prestijli olan Ecole Normale Superieure’da öğrenciydi. Burada da bir matematikçiden çok problem yaratan biri olarak tanınmış, adı kötüye çıkmıştı. 1830 yılındaki Temmuz devrimi sırasında, X.Charles Fransa’dan kaçıp, Paris sokakları da denetimi ele geçirmeye çalışan siyası grupların savaşına sahne olduğunda, Galois’in bu kötü şöhreti de en üst noktaya vardı. Kralcı olan okul müdürü Monsieur Guigniault, öğrencilerinin çoğunun radikal cumhuriyetçi olduğundan haberdardı. Hepsini yatakhaneye kapattı, binanın kapılarını da kilitledi. Kardeşlerinin yanında savaşmaktan alıkonulan Galois’nın öfke ve hiddeti, cumhuriyetçiler yenilince daha da arttı. İlk fırsatta müdürü yeren ve korkaklıkla suçlayan çok sert bir yazı yayımladı. Tabii bu durumda Guigniault da kendisinden bekleneni yaparak bu asi öğrenciyi okuldan uzaklaştırdı. Galois’nın resmi matematik kariyeri son bulmuştu artık.

Aynı yılın 4 Aralık günü bu muhalif dahi, profesyonel bir isyancı olmak için ordunun cumhuriyetçi kanadını oluşturan ve “Halkın Dostları” adıyla tanınan Ulusal Muhafız Birliği’nin topçu sınıfına girmek istedi. Ama daha ayın sonu gelmeden Ulusal Muhafız Topçu Birliği, bir ayaklanma daha çıkmasını önlemek isteyen yeni kral Louis-Philippe tarafından dağıtıldı. Şimdi Galois yoksul ve evsiz barksızdı. Bütün Paris’in bu en parlak dahisi her bakımdan baskı görüyordu ve akıbeti bazı eski matematikçi arkadaşları arasında kaygı uyandırmaktaydı.

Bu kargaşa ortamında bir yemek esnasında krala tehdit savurduğu suçlamasıyla hapse gönderilen Galois Sainte-Pelagie hapishanesinde bir ay kaldı. Daha sonra jüri tarafından yaşının genç olması ve niyetinin kesin olmaması yüzünden serbest bırakıldı. Ancak Galois Bastille Günü, yani 14 Temmuz 1831′de yasadışı ilan edilmiş olan Topçu Muhafızlar’ın üniformasını giyerek Paris sokaklarında gezindi. Bu hareket sadece sembolik bir meydan okumadan ibaret olduğu halde, altı ay hapse mahkum edildi ve Sainte-Pelagie’ye geri döndü. Orada geçirdiği aylar boyunca, daha önce hiç içki kullanmayan genç adam, etrafındaki ayak takımının da etkisiyle içkiye başladı. Bir hafta sonra hapishanenin karşısındaki binanın çatı arasına saklanmış birinin attığı kurşun, Galois’nın yanıbaşındaki mauhpusu yaraladı. Galois asıl hedefin kendisi olduğundan emindi, hükümetin görevlendirdiği bir suikastçinin peşinde olduğuna inanıyordu. Siyasi cinayete kurban gitme endişesiyle dehşete kapılmış, arkadaşlarından ve ailesinden uzak kaldığı, matematikle ilgili fikirleri kabul görmediği için bunalıma sürüklenmişti. İçkinin de etkisiyle, bir kriz anında kendini bıçaklayarak öldürmeye çalıştı,ancak arkadaşları buna engel oldu. Hapishanedeki yakın arkadaşı Raspail intihar girişiminin hemen öncesinde Galois’nın söylediği sözleri unutmamıştı:

Bende eskik olan ne, biliyor musun dostum? Bunu ancak sana itiraf edebilirim: sevebileceğim biri- sadece ruhumla sevebileceğim. Babamı yitirdim. Hiç kimse de tutamadı onun yerini. Duyuyor musun beni…?

Mart 1832′de, Galois’nın mahkemesi bitmek üzereyken, Paris’te kolera salgını patlak verdi ve Sainte-Pelagie’deki mahpuslar serbest bırakıldı. Bunu izleyen bir kaç hafta boyunca Galois’nın başından neler geçtiği yoğun tahminlere, spekülasyonlara konu olmuştur. Kesin olarak bilinen, bu dönemdeki olayları, Parisli tanınmış bir hekimin kızı olan Stephanie-Felicie Peterine du Motel adlı esrarengiz bir kadınla kurmuş olduğu duygusal bağın belirlemiş olduğudur. İlişkinin nasıl başladığına dair hiç bir ipucu yok ama trajik sonu çok iyi biliniyor.

Stephanie o sırada Peschheux d’Herbinville adlı bir beyle nişanlıydı. Paris’in en usta nişancılarından olan d’Herbinville ortada bir sadakatsizlik olduğunu öğrenince büyük bir öfkeye kapılmıştı, hiç duraksamadan Galois’yı şafak vakti düelloya davet etti. Galois rakibinin ününden haberdardı. Düellodan önceki son akşam, fikirlerini kağıda dökmek için bir daha fırsat bulamayacağını düşünerek, arkadaşlarına kendi durumunu açıklayan mektuplar yazdı.

Yurttaşlarımdan ve dostlarımdan, ülkem için başka bir şekilde ölemedim diye beni kınamamalarını diliyorum. Aşağılık bir kooketin ve onun aldattığı iki kişinin kurbanı olarak öldüm ben. Berbat bir iftirayla son buluyor yaşamım. Ah! Neden böyle küçük, böyle alçakça bir şey için öleyim? Tanrı şahidimdir ki, engellemek için elimden geleni yaptığım bir provokasyona zorla itildim.

Galois cumhuriyetçilik davasına o kadar bağlı olmave yaşadığı romantik olaylara rağmen, matematiğe olan tutkusunu da her zaman sürdürdü. En büyük korkularından biri de, Akademi tarafından zaten reddedilmiş olan araştırmasının tümüyle kaybolup gideceğiydi. Bunu önlemek için son bir umtula bütün gece çalışıp, beşinci derece denklemler bulmacasını eksiksizce açıkladığına inandığı teoremleri kağıda döktü. Bu sayfalar daha çok, Cauchy ve Fourier’ye vermiş olduğu çalışmanın bir kopyasını içerir ama karmaşık cebir hesaplarının arasına “Stephanie” ya da “une femme (bir kadın)” gibi sözcükler ve umutsuzca haykırışlar sıkışmıştır: “Zamanım yok, zamanım yok!”. Gecenin sonunda, hesaplarını tamamlamış bulunan Galois, arkadaşı Auguste Chevalier’ye bir de mektup ekledi yazdıklarına. Ölecek olursa, bu kağıtları Avrupa’nın en büyük matematikçilerine dağıtmasını istiyordu.

Yukarıdaki resimde ortadan biraz aşağıda ve sola doğru “une femme” sözcükleri görülmekte. femme kelimesinin üstü karalıdır.

Sevgili dostum, analiz konusunda bazı yeni buluşlarım var. Bunlardan ilki beşinci derece denklemlerle ilgili, diğerleri ise integral fonksiyonlarıyla.

Denklem kuramı bağlamında, denklemlerin köksayılar yardımıyla çözülüp çözülemeyeceğini araştırdım; bu da bana söz konusu kuramı derinleştirme ve köksayılarla çözülemeyen bir denklemin bile bütün olası dönüşümlerini betimleme imkanı verdi. Bunların hepsi, buradaki üç yazıda yer almıştır…

Yaşamım boyunca, emin olmadığım önermeler getirmeye cesaret etmişimdir hep. Ancak burada yazdığım her şey, en az bir yıldır tamamen açık benim için. Zaten, tam olarak ispat edemediğim teoremler ortaya attığımdan şüphe edilmesi, isteyeceğim bir şey değil.

Jacobi ya da Gauss’tan fikir belirtmelerini açıkça iste, ama bu teoremlerin doğruluğu hakkında değil, önemi hakkında. Sanırım bu kağıt yığınını düzenlemekte yarar görenler çıkacaktır o zaman.

Seni coşkuyla kucaklıyorum, E. Galois

Ertesi sabah, 30 Mayıs 1832′de, ıssız bir tarlanın ortasında Galois ve d’Herbinville karşı karşıyaydı. Ellerinde tabancalarla, birbirlerinden yirmi beş adım uzaktaydılar. D’Herbinville tanıklarını getirmişti beraberinde. Galois ise yalnızdı, bu kötü durumdan kimseye bahsetmemişti. Ağabeyi Alfred’e bir haberci yollamıştı ama düello bitmeden haberin ulaştırlmaması koşuluyla. Son gece yazdığı mektuplar da arkadaşlarının eline ancak birkaç gün sonra geçebilecekti.

Tabancalar doğrulup ateşlendi. D’Herbinville ayaktaydı hala ancak Galois karnından vurulmuştu. Çaresizce yerde yatıyordu. Yardım edecek bir doktor yoktu ve muzaffer düellocu da rakibini soğukkanlılıkla ölüme terk ederek çekip gitti. Bir kaç saat sonra olay yerine ulaşan Alfred kardeşini Cochin hastanesine götürdü hemen. Ama artık çok geçti, karın zarı iltihabı başlamıştı bile. Ertesi sabah Galois öldü.

Cenazesi neredeyse babasınınki gibiydi, kötü bir komediye benziyordu. Törenin siyasi bir gösteriye dönüşeceğini düşünen Paris polisi, Galois’in otuz arkadaşını önceki gece gözaltına almıştı. Yine de, iki bin cumhuriyetçi cenaze törenine katıldı. Bu durumda Galois’in yandaşlarıyla olayları izleyip denetlemek üzere gelmiş bulunan hükümet görevlileri arasında itişmeler, kavgalar çıkması kaçınılmazdı.

Galois’in yasını tutanlar büyük bir öfke içindeydi. Çünkü d’Herbinville’in aslında aldatılmış bir nişanlı değil, bir hükümet ajanı olduğuna; Stephanie’nin de herhangi bir sevgiliolmayıp, Galois’yı mahsus ayartmak üzere tertibe katıldığına giderek daha çok inanıyorlardı. Sainte-Pelegie’deyken atılan kurşun gibi olaylar, bu genç isyankarı ortadan kaldırmak için bir oyun tezgahlandığının işareti değil miydi zaten? Arkadaşları Galois’yı öldürmek üzere bir komplo kurulduğu ve genç adamın aldatılıp bir aşk ilişkisine çekildiği sonucuna varmıştı. Tarihçiler de düellonuntrajik bir aşk olayı yüzünden mi, yoksa politik nedenlerle mi gerçekleştiği konusunda bir hayli tartışmıştır. Ne olursa olsun, dünyanın en büyük matematikçilerinden biri, henüz sadece beş yıl matematik öğrenimi görmüşken, yirmi bir yaşında öldürülmüştü.

Galois’nın bıraktığı kağıtları dağıtmadan önce, ağabeyi ve Auguste Chevalier bu notları yeniden yazarak daha açık ve geniş bir hale getirmişlerdir. Yıllardır süren bir araştırmayı sadece bir gecede özetleme zorunluluğu, Galois’nın fikirlerini alelacele ve yetersize ifade etme alışkanlığını daha da körüklemişti. Görev yerine getirildi, notlar Carl Gauss, Carl Jacobi ve diğerlerine gönderildi ama on yıl boyunca Galois’nın çalışması ilgi görmeden kaldı. Ancak 1846′da bir kopya da Joseph Liouville’e ulaşınca bu durum değişecekti. Hesaplardaki deha kıvılcımını fak eden Liouville, bunları anlayıp yorumlayabilmek için aylarını harcadı. Sonunda, gerekli hazırlıkları tamamlayarak, Galois’nın çalışmasını kendi yönettiği önemli bir dergi olan Journal de Mathematiques pures et appliquees‘de yayımladı. Diğer matematikçiler yazıya anında çok yoğun bir ilgi gösterdi, çünkü Galois gerçekten de beşinci derece denklemlerin nasıl çözülebileceğine dair eksiksiz bir yaklaşım getirmişti. Galois bu denklemleri önce ikiye ayırıyordu: çözülebilenler ve çözümsüz olanlar. Sonra çözülebilir olan denklemlerin nasıl çözüleceğini gösteren bir formül geliştiriyordu. Ayrıca Galois, x^6, x^7 gibi terimler içeren daha yüksek dereceden denklemleri de incelemişti. 19. yüzyıl matematiğinin en trajik kahramanlarından biri tarafından yaratılmış gerçek bir baş yapıttı bu.

Louville, Galois’nın çalışmasına yazdığı girişte, genç matematikçinin büyükleri tarafından neden reddedilmiş olduğu üzerinde duruyor ve kendi çabalarının onu nasıl matematik dünyasına yeniden kazandırdığını anlatıyordu:

Kısa ve özlü olmaya yönelik abartılı bir istek, saf cebirin soyut ve esrarengiz meseleleriyle uğraşırken her şeyden çok kaçınmaya çalışmamız gereken bu hatanın nedeni olmuştur. Tabii eğer okuyucuyu alışılmış yollardan uzaklaştırıp bilinmeyen topraklara götürmek istiyorsak, açık seçik olabilmek daha da gerekli demektir. Descartes’ın dediği gibi “Aşkın sorular tartışıldığında, aşkınlık açık seçik olmalıdır.” Galois bu temel kuralı çok sık unutmuştu. bilgece tavsiyeleri ne kadar sert olsa da, ünlü matematikçilerin deha sahibi ama deneyimsiz bir genç matematikçiyi doğru yola çekmeye ne kadar önem vermiş olacaklarını düşünebiliriz. Eleştirdikleri yazar coşku dolu duruyordu karşılarında, tavsiyelerden yararlanabilirdi.Ama şimdi her şey değişimiş durumda. Galois yok artık! Yararsız eleştirilerle uğraşmayalım, kusurları bir kenara bırakıp yüzümüzü erdemlere çevirelim…Uğraştığıma değdi gerçekten de. Bazı ufak tefek boşlukları doldurup da, Galois’nın özellikle bu güzel teoremi ispat etme yönteminin tamamıyla doğru olduğunu gördüğüm an, çok yoğun bir sevinç yaşadım.

Leonhard Euler 15 Nisan 1707′de İsviçre,Basel’de doğmuş ve 18 Eylül 1783′te Rusya St Petersburg’da ölmüştür. Euler’in babası Paul Euler’dir. Paul Euler Basel Üniversitesinde teoloji(ilahiyat) okumuş ve Jacob Bernolli’nin derslerine katılmıştı. Aslında Paul Euler, Jacob Bernoulli’nin kardeşi olan Johann Bernoulli ile beraber üniversite yıllarında bizzat Jacob Bernoulli’nin evinde kalmıştı. Kendisi bir protestan vaizi olduktan sonra, yine bir başka protestan vaizinin kızı olan Margaret Brucker ile evlendi. Daha sonra Leonhard Euler dünyaya geldi ve aile Basel’den çok da uzak olmayan Riehen’a taşındılar. Euler burada büyüdü. Paul Euler bahsettiğimiz gibi biraz matematik çalışmıştı ve oğluna bunları öğretecek kadar temel matematik bilgisi bulunmaktaydı.

Euler ilk öğrenim görmesi için Basel’e gönderildi ve burada büyükannesinin yanında kaldı. Bu okul kendisi için zayıf kalıyordu ve burada matematik öğrenemiyordu. Babasının yaktığı matematik kıvılcımını kendisinin bulduğu yazı ve kitaplarla devam ettirdi. Bu arada bazı özel dersler de alıyordu. Babası oğlunun kendisi gibi bir vaiz olmasını istediği için onu Basel Üniversitesine gönderdi. Henüz 14 yaşındayken 1720′de üst düzey eğitim almadan önce ön temel bilgileri öğrenmek için üniversiteye girdi. Johann Bernoulli yakın zamanda Euler’deki büyük matematik potansiyelini fark etti. Euler bu konuda yayımlanmamış otobiyografisinde şunu söyler:

“Yakın zamanda meşhur bir profesör olan Johann Bernoulli ile tanışma fırsatı buldum… Doğru, kendisi çok yoğun, bu yüzden bana özel ders vermeyi kabul etmedi fakat çok değerli bir tavsiye olan daha zor matematik kitapları okumamı, çalışabildiğim kadar çalışmamı söyledi. Eğer çok zorluk çekersem her Pazar yanına gidip soru sorabilme, anlamadığım yerleri birlikte çalışma izni aldım….”

1723′te Euler felsefedeki master derecesini Descartes ve Newton’un felsefi düşüncelerinin benzer ve ayrılan yönlerini karşılaştırarak aldı. İlahiyat eğitimine 1723 sonbaharında başladı. Fakat Euler samimi bir Hristiyan olmasına rağmen matematikte bulduğu heyecanı burada bulamıyordu. Johann Bernoulli’nin de yardımıyla babasından bölümünü matematik olarak değiştirme iznini aldı.

Euler Basel Üniversitesindeki çalışmalarını 1726′da bitirdi. Bu sene itibariyle Euler’in eşzamanlı eğriler üzerine bir yazılı çalışması da bulunuyordu. 1727 yılında karşılıklı yörüngeler üzerine bir makale daha yayımladı ve Paris Akademsinin gemi direkleri hakkındaki Grand Prize ödülü için kayıt yaptırdı. Ancak bu sene ödül gemiler ile ilgili olan uzman bir matematikçi, Bouguer’a gitti. Ancak Euler yeni bir mezun olarak hiç de azımsanmayacak olan ikincilik ödülünü aldı.

Bu yıl Euler St Petersburg’dan matematik uygulamaları ve mekanik fizyoloji öğretmesi için bir davet aldı. Bu daveti hemen kabul etmedi. Bunun iki sebebi vardı. Birincisi, öğreteceği konular üzerine biraz çalışmak, ikinci olarak sa Basel Üniversitesindeki fizik bölümünün profesörünün ölmesi nedeniyle açılan boşluğa geçmek istemesiydi. Bu arada ilerde bir klasik olacak akustik hakkında bir makale yayımladı. Fakat yaşının çok genç (19) olması nedeniyle buraya atanmadı ve Rusya’ya gitmeye karar verdi ve Basel’den ayrıldı (5 Nisan 1979). 17 Mayıs 1727′de Rusya’ya ulaştı. 2 sene Peter the Great’in karısı olan Catherine 1 tarafından desteklendikten sonra St Petersburg Bilim Akademisine katıldı. Daniel Bernoulli ve Jakob Hermann’ın tavsiyeleri üzerine akademide daha önce karar verilen felsefe bölümü yerine, matematik-fizik bölümüne kabul edildi. St Petersburg kendisi gibi bir çok meslektaşı ile beraber çalışma ve fikir alışverişinde bulunma imkanına sahip oldu.

Euler 1727 ile 1730 yılları arasında Rus ordusunda tıbbi teğmen olarak görev yaptı. St Petersburg’da Daniel Bernoulli ile beraber yaşamaktaydı. Euler 1730′da akademide fizik profesörü oldu ve ordudaki görevini bırakabilme imkanına kavuştu. Daniel Bernoulli akademide Matematik bölümü senior kürsüsünün başına getirildi fakat 1733′de Rusya’dan ayrılınca yerine Euler geçti. Bu sıralarda parasal açıdan refaha kavuşan Euler kendisi gibi bir İsviçreli olan ve St Petersburdaki bir ressamın kızı olan Katharina Gsell ile evlendi. 13 çocukları olmasına rağmen sadece 5′i hayatta kaldı. Euler kucağında bir bebek ve bacaklarında oynayan çocuklar olduğu halde çok büyük matematiksel buluşlar yaptığını söyler.

Euler’in matematik çalışmalarının(ilerde bahsedilecek) dışında birer devlet projesi olan haritacılık, bilim eğitimi, manyetizma, itfaiye araçları, makineler ve gemi mimarisi üzerine de çalışmalar yapmıştır.

Kendi araştırma programının özü şu anda “sayılar teorisi” içinde yer alır. Çalışmaları arasında diferansiyel denklemler, varyasyon matematiği, rasyonel mekanik vardır. O bu üç alanı kendi aralarına çok yakın olarak görmüştür.

Bir çok çalışmasında ve kitabı olan Mechanica’da(1736-37) büyük matematiksel çalışmalarına başladı.

Fakat 1735′de Euler’in ciddi sağlık problemleri ortaya çıktı. Şiddetli ateş neredeyse hayatına mal oluyordu. Kendi hayatını anlatırken 1738′de haritacılık çalışmaları sırasında görme probleminin başladığını, 1740′da ise bir gözünü kaybedip diğeri için tehlike oluştuğunu söyler.

1738 ve 1740 Paris Akademi ödülünü alarak bu senelerde çok büyük bir şöhrete kavuşur. Bu ün kendisine Berlin’den bir davet sağlar. Ancak ilk durumda kendisi St Petersburg’da kalmayı yeğeler. Ancak Rusyadaki politik problemler yabancıların burada kalmasını zorlaştırır. 1741′de Berlin’e geçer. Berlin’de olduğu zamanlarda dahi maaşının yarısını Rusya’dan alır. Bu yüzen, kendisi St Petersburg Akademisi için matematiksel kitaplar ve araçlar alır, ayrıca genç Rusları da yetiştirmeye devam eder.

Berlin’de geçirdiği 25 yıl boyunca 380 makale yayımlar. Varyasyon matematiği, gezegensel yörüngeler, toplar ve balistik, gemi yapımı ve denizcilik, ayın hareketi, diferansiyel matematik hakkında kitaplar yazar. Ayrıca Letters to a Princes of Germany (3 cilt, 1768-72) isminde popüler bilim yazıları yayımlar.

1759′da Berlin Akademisinin başına geçer. Fakat kendisine başkan sıfatı verilmez. Kral Frederick tüm sorumludur. Bu arada kral ve d’Alembert ile yaşadığı problemler, kralın d’Alembert’a başkanlık teklif etmesi (Rusyaya taşınmayı kabul etmese de) Eulerin buradan ayrılma kararı alması için yeterli olur.

1766′da St Petersburg’a döner. Kısa bir zaman sonra Euler tamamen kör olur. 1771′de evi yanar ve sadece kendisini ve matematiksel el yazmalarını kurtarabilir. Yangından sonra bir katarakt ameliyatı geçirir ve Birkaç gün gözü düzelir. Ancak kendisine yeterince bakmadığı için tamamen karanlığa gömülür.

Fakat Euler’de öyle bir hafıza vardır ki, görmemesine rağmen optik, cebir, ayın hareketi konusunda çalışmalar yapar. Hatta Rusyaya dönüşünden ve tamamen görmez oluşundan sonra (yaşı 59 idi) yaptığı çalışmalar, hayatı boyunca yaptıklarının yarısını oluşturur.
Tabi ki bu çalışmaları kendisi yapmazdı. Yardımcıları oğulları olan Johann Albrecht Euler (St Petersburg Akademisi Fizik kürsüsü 1766), asker olan Christoph Euler ve akademiden arkadaşları olan Krafft, Fuss, Lexell’dir.

Örneğin Euler’in çalışmları ve bu Albrecht ve Krafft ve Lexell’in yardımıyla ayın hareketi hakkında 775 sayfalık bir kitap yayımlamıştır. Fuss’ın yardımıyla 250′nin üzerinde makale yayımlamıştır.

Euler 1783′te hayata gözlerini yumdu. Yushkenevich ölümü hakkında şunları söyler:
“18 Eylül 1783′te Euler günün ilk yarısını normal bir şekilde geçirdi. Torunlarından birine matematik dersi verdi, tebeşir ile iki tahtada balonların hareketi hakkında hesaplamalar yaptı, daha sonra Lexell ve Fuss ile yeni keşfedilen Uranüs gezegeni ile ilgili fikir alışverişinde bulundu. Saat 5 gibi beyin kanaması geçirdi ve bilincini kaybetmeden önce “Ölüyorum” diyebildi. Saat 11 gibi öldü.”

Ölümünden sonra St. Petersburg Akademisi yayımlanmamış yaklaşık 50 yıllık makalelerini yayımladı.

Euler’in matematik için yaptıkları böyle bir makale için fazla gelir ancak yine de bir fikir verebilir. Kendisi gelmiş geçmiş en verimli matematikçidir. Modern analitik geometri ve trigonometride sin,cos ve benzerlerini bir fonksiyon olarak algılayarak büyük sıçramalar yapmıştır.

Geomtri, matematik(calculus) ve sayı teorisi hakkında kesin ve gelişmeye meyilli katkılar yaptı. Leibniz’in diferansiyel matematiğini ve Newton’un matematik analizdeki değişme hızını birleştirdi. Diferansiyel denklemler için beta ve gamma fonksiyonlarını ve integral çarpanını buldu. Süreğen mekanik, lunar teori, 3 cisim problemi, elastikiyet, akustik, ışığın dalga teorisi, hidrolik ve müzik üzerine çalışmalar yaptı. Analitik mekanik temellerini özellikle Theory of the Motions of Rigid Bodies (1765) kitabında attı.

Bir fonksiyon için f(x) (1734), doğal logaritma tabanı için e (1727), -1′in kökü için i (1777), pi için π gösterimleri , toplam sembolü gibi gösterimleri Euler’e borçluyuz.

Euler’in sayı teorisi ile ilgili ilgisi Bernoulliden gelir. Fakat bunu canlandıran Goldbach olmuştur. 1729, Euler’e Fermat’nın 2^n+1 ifadesinin eğer n 2′nin bir katı ise her zaman asal sayı olacağı varsayımını bilip bilmediğini sordu. Bunun üzerine Euler bu varsayımı 1,2,4,6,8 ve 16 için doğruladı. Sonunda 1732′de bir sonraki durum olan 2^32+1=4294967297 sayısının 641 ile bölündüğünü ve dolayısıyla asal olmadığını ispatlamış oldu. Fermat’nın başka ispat edilmemiş varsayımları üzerinde de çalıştı ve Euler phi fonksiyonunu matematiğe kazandırdı.

Euler’in gençlik zamanında kendisine ün getiren en büyük şey ise Basel problemine getirdiği çözümdür.

1739′da C için Bernoulli sayılarına göre rasyonel katsayıları buldu.
Bir başka çalışması meşhur Eueler sabitini 1735′de açıkladığı sonsuz serilerle ilgili ilgilidir.

Euler’in sayı teorisi hakkında çalıştığı bir başka konu ise Fetmat’nın Son Teoremi hakkında olanıdır. İlk olarak n=3 için olan ispatı Euler yapmıştır.

Birisi çıkıp da matematiksel analizin Euler ile başladığını iddia etse yanlış söylemiş olmaz. 1748′de Introductio in analysin infinitorum isimli kitabında Johann Bernoulli’nin düşüncelerini daha kesin olarak belirtmiştir ve matematiksel analizi fonksiyonların üzerinde bir çalışma olarak tanımlamıştır.

Bu ve daha fazlasını http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Euler.html adresinde bulabilirsiniz.

BİR BAŞKA AÇIDAN EULER – Matematiğin Tek gözlü devi!

Euler, inanılmaz bir sezgi gücüne ve müthiş bir belleğe sahipti, sayfalar alabilecek koskoca bir hesabı, hiç kağıt kalem kullanmadan akıldan yapabildiği söylenirdi. Bütün Avrupa’da “analizin vücut bulmuş hal dili” diye ün salmıştı. Leonhard’ın papaz olan babası onun da kendisi gibi İlahiyat okuyup din adamı olmasını istiyordu. O da babasının sözünü dinledi ve Basel Üniversitesinde ilahiyat ve İbranice okudu.

Ancak Basel’de ünlü Bernoulli ailesi de yaşıyordu ve bu ailenin ünü Bach ailesinin müzikteki yeri gibiydi. Tüm Avrupada en öne çıkmış sekiz beyni bu aile yetiştirmişti. Bu aileden Daniel ve Nikolaus Eulerin iki kadim dostuydu ve babasından onun Matematik öğrenimi almasını rica ettiler. Babası da zamanında Jakob Bernoulli’den ders aldığı için istemeye istemeye d eolsa bu teklifi kabul etti.

Euler kısa bir süre sonra Berlin ve St Petersburg’a geçti ve burda saraylarda yaşamaya başladı. Kariyerine önce Rus çarlarının yanında başladı, sonra da Prusya hükümdarının himayesinde Berlin Akademisine geçti. Son olarak Büyük Katerina döneminde tekrar Rusyaya dönerek son yıllarını burada geçirdi.

Meslek hayatı boyunca denizcilikten finans işlerine, akustikten sulamaya kadar çeşitli problemlerle uğraştı. Pratik problem çözme dünyasında bulunmak, Euler’in matematik yeteneğini köreltmedi, aksine üzerinde çalıştığı her iş yeni ve dahice matematik buluşlarının ilham kaynağı oldu. İnatçı bir tutkuyla çalışıp aynı gün birden fazla makale yazdığı oluyordu. Akşam yemeği için yapılan iki çağrı arasında yayınlanmaya değecek bütün bir hesabı karalayıverdiğini anlatır. Euler, tek bir anını bile boş geçirmiyor, bir eliyle bebek sallasa, diğeriyle ispat taslağı çıkarmayı sürdürüyordu.

Euler’in en büyük başarılarından biri algoritmik yöntemin geliştirilmesidir. Bu imkansız gözüken problemleri ele almayı sağlayan bir yöntemdi. Örneğin Ay’ın gelecekteki evrelerinin yüksek bir kesinlikte tahmin edilmesi böyle bir problemdi ve denizcilik planlarının çıkartılması bakımından büyük önem taşıyordu. Newton bir gök cisminin diğeri etrafında çizdiği yörüngeyi tahmin etmenin pek de zor olmadığını çoktan göstermişti ancak Ay söz konusu olunca durum o kadar da basit değildi. Ay Dünya’nın çevresinde döner ama Güneş de üçüncü bir cisim olarak işe karıştığından durum çok karışıktır. Dünyayla Ay birbirini çekerken Güneş de Dünyanın konumunu bozmakta, bu da Ay’ın yörüngesine ayrı bir etki yapmaktadır. 18.yy’da herhangi iki cismin birbirini etkileyişi bazı denklemlerle saptanabiliyordu ama o dönem matematikçileri üçüncü bir cismi hesaplara dahil edemiyordu. Bugün bile “üçüncü-cisim problemleri” denilen bu meseleyi kesin bir şekilde çözmek olanaksızdır.

Euler denizcilerin aslında Ay’ın evrelerini çok kesin olarak bilmeye ihtiyaçları olmadığını anlamıştı. Birkaç deniz mili içindeki konumlarını bilecek kadar bir kesinlik yeterliydi. Dolayısıyla Euler de mükemmel olmayan ama yeterli kesinliği sağlayabilen bir formül geliştirdi. Algoritma denilen bu yöntemde önce kaba bir yaklaşık sonuç elde ediliyor, sonra bu sonuç tekrar algoritmaya yerleştirilerek daha iyi bir sonuç elde ediliyordu. Bu böyle devam edip gidiyordu. İşlemi yaklaşık 100 kere tekrar eden Euler, Ay’ın konumunu donanmanın gereksindiği kesinlikte saptayabilmişti. Algoritmasını Britanya Donanmasına sundu ve karşılığında 300 Sterlin ödül aldı.

Euler kendisine verilen her problemi çözen biri olarak tanınmıştı. Bu bilimi bile aşan bir yetenekti. Büyük Katerina’nın yanında görev yapmaktayken, büyük Fransız filozofu Denis Diderot ile sıkı bir tartışmaya girdi. Diterot tavizsiz bir ateistti ve o sırada zamanını Rusları ateist yapmaya adamış bulunuyordu. Çileden çıkan Katerina Euler’den bu tanrısız Fransızın çalışmalarını durdurmasını istedi.

Euler konu üzerine biraz düşündükten sonra, Tanrı’nın varlığını cebirden yararlanarak ispat edebileceğini ileri sürdü. Büyük Katerina, Euler ve Diderot’yu saraya davet etti, saray mensuplarını da bu teolojik tartışmayı izlemeleri için bir araya getirdi. Euler topluluğun önüne çıkıp konuştu:

“Efendim, (a+b^n)/n=x, dolayısıyla Tanrı vardır; buyurun bakalım!”

Cebirden anlamayan Diderot, Avrupa’nın en büyük matematikçisine karşı çıkamadı, öylece kalakaldı. Aşağılanmış olarak St. Petersburg’dan ayrıldı, Paris’e döndü.

Euler ve Köprü Problemi

Rusya’da bulunduğu sıralarda çözdüğü bir başka problem de Prusyadaki Königsberg, şimdiki adıyla Kaliningrad kenti ile ilgiliydi. Pregel nehrinin kıyılarında kurulmuş olan kent, birbirine 7 köprü ile bağlanmış dört bölümden oluşuyordu.

Kentin bazı meraklı sakinleri kendilerine, aynı köprüden iki kez geçmeye gerek kalmadan bütün köprüleri aşarak şehri dolaşmanın bir yolu olup olmadığını sormuşlardı. Ne kadar yol denendiyse , hepsi de boşa çıktı. Euler de uygun bir rota çizemedi ancak böyle bir gezinti yapmanın neden imkansız olduğunu açıklamayı başardı.

İşe bir kent planı üzerinde çalışarak başladı ve kentin bölümlerini noktalar, köprüleri ise çizgiler halinde gösterdiği basit bir şema oluşturdu:

Sonra da başarılı bir gezi yapabilmek için bir noktanın bağlandığı çizgilerin sayısının bir çift sayı olması gerektiğini ileri sürdü. Çünkü gezinti sırasında herhangi bir kara parçasından geçmek isteyen yolcunun oraya bir köprüden geçerek girmesi, sonra da başka bir köprüden geçerek çıkması gerekiyordu. Bunun sadece iki istisnası vardır: gezinin başladığı ve bittiği yer. Başlangıç durumunda yolcu bulunduğu kara parçasından ayrılmak için sadece bir köprüye ihtiyaç duyar., bitişte de yine tek bir köprüden geçerek son kara parçasına ayak basar. Eğer gezi farklı iki yerde başlayıp bitiyorsa, bu iki kara parçasına bağlanan köprü sayısı tek olmak zorundadır. Bunun karşılık başlangıç ve bitiş yeri aynıysa, diğer bütün noktalar gibi bu noktanın da çift sayıda köprüye sahip olması gerekir.

Bu şekilde düşünen Euler, şu genel sonuca vardı: köprü ağı ne şekilde olursa olsun, her köprüden sadece bir kez geçerek geziyi tamamlayabilmek için ya her kara parçasının köprü sayısı çift ya da tamı tamına iki kara parçasının köprü sayısı tek olmak zorundaydı. Königsberg toplam dört kara parçasına yayılmıştır ve bunların her biri komşu yerlere tek sayıda köprüyle bağlanmıştır. Üç noktadan üçer köprü, birinden de beş köprü çıkmaktadır. Böylece Euler hem Köngsberg’i her köprüden sadece ve sadece bir kez geçerek dolaşmanın neden imkansız olduğunu göstermiş hem de dünyanın herhangi bir yerindeki herhangi bir şehrin köprü ağına uygulanabilecek bir kural oryata koymuştur. Argümanı estetik bir basitliğe sahiptir ve belki de akşam yemeği öncesinde karalayıverdiği mantık problemlerinden biridir.

Königsberg bilmecesi, uygulamalı matematikte ağ problemi diye anılan türün bir örneğidir. Ancak Euler’e daha soyut ağları ele alma konusunda ilham vermiştir. Euler bütün ağ sistemlerinin temelini oluşturan bir doğruyu bulmaya girişti ve sadece birkaç mantıksal adımdan yararlanarak ağ formülünü geliştirdi. Bu formül, herhangi bir ağı betimleyen üç özellik arasındaki kalıcı ilişkiyi dile getirir:

V+R-L = 1
V = Ağdaki köşelerin (kesişme noktaları) sayısı,
L = Ağdaki çizgilerin sayısı
R = Ağdaki bölgelerin (kapalı alanların) sayısıdır.

Euler’in iddiasına göre, herhangi bir ağ sisteminde köşelerin ve alanların sayıları toplanıp bundan çizgilerin sayısı çıkarıldığında sonuç her zaman 1′dir. Örneğin alttaki şekilde bütün ağlar bu kurala uymaktadır.

Bu formülü bir çok ağ için sınadığımızı düşünebiliriz. Eğer her seferinde doğru çıkıyorsa, bütün ağlar için doğru olduğunu kabul etmeye yatkınlık duymaya başlarız. Bu, bilimsel bir kuram için yeterli kanıt sayılır ancak bir matematik teoremini doğrulamaya yetmez. Formülün bütün olası ağlar için geçerli olduğunu göstermenin tek yolu kusursuz bir argüman oluşturmaktır. Euler’in yaptığı da buydu.

Euler olabilecek en basit ağı düşünerek işe başladı, bu da yandaki şekilde a maddesinde görüldüğü gibi tek bir köşeden ibarettir. Bu ağ için formülün doğru olduğu açıkça bellidir: bir köşe var, çizgi ve alan yok, dolayısıyla:

V+R-L = 1 + 0 – 1 = 1

Eulerin bundan sonra yaptığı bu en basit ağa bir ekleme yapıldığında ne olacağını sormaktı. Bir köşeye herhangi bir ek yapılacaksa, mutlaka bir çizgi çekmek gerekir. Bu çizgi ya ya mevcut köşeyi kendi kendisine bağlar ya da yeni bir köşeye bağlar.

b maddesinde görüldüğü gibi kendi kendisine bağlanmasına bakalım. Çizginin eklenmesiyle birlikte ortaya bir de yeni alan çıkıyor. Böylece ağ formülü de geçerliliğini koruyor çünkü eklenen alanla (+1) eklenen çizgi (-1) birbirini dengeliyor. Bu şekilde daha ne kadar çizgi eklense, her çizgi bir de yeni akan oluşturacağından, formül hep doğru kalacaktır.

İkinci olarak da çizginin yeni bir köşeye bağlandığı durumu ele alalım, c maddesi. Bir kez daha ağ formülünün doğru kaldığını görüyoruz çünkü bu defa da eklenen köşeyle (+1) eklenen çizgi (-1) birbirini dengeler. Bu şekilde eklenen yeni çizgiler de daima yeni bir köşe doğuracağından ağ formülü yine hep doğru olacaktır.

İşte ispat için Euler’e gereken sadece bu kadardı. Şöyle akıl yürütüyordu: ağ formülü bütün ağların en basiti olan tek köşe için doğrudur. Ayrıca başka her ağ da, ne kadar karmaşık olursa olsun, bu en basit ağa teker teker yeni çizgiler ekleyerek oluşturulur. Her yeni çizgi eklenişinde ağ formülü doğru olarak kalacaktır. çünkü hep ya yeni bir köşe ya da yeni bir alan eklenmiş olacak, bu da dengeleyici bir etki yapacaktır. Euler basit ama çok güçlü bir strateji geliştirmişti. Formülün en temel ağ için, yani tek bir köşe için doğru olduğunu ispat ettikten sonra ağı daha karmaşık hale getirecek her türlü işlemin, formülün geçerliliğinin muhafaza etmeyi sürdüreceğini göstermişti. Dolayısıyla formül, sonsuz sayıdaki bütün olası ağlar için doğruydu.

Fermat’nın Son Teoremi Ve Euler

Euler Fermat’nın Son Teoremi ile ilk karşılaştığında, onu da benzer bir stratejile çözebileceğini ummuş olmalı. Bu iki problem farklı matematik alanlarından gelse de ortak bir noktaları var: ikisi de sonsuz sayıdaki nesnelerden bahsediyor. Fermat’nın Son Teoremine göre sonsuz sayıda denklem için tam sayılı hiçbir çözüm bulunmuyor. Fermat aşağıdaki denklem için tam sayılı çözüm bulunmadığını söylemişti:

n 2′den büyük herhangi bir sayı olduğunda, x^n +y^n=z^n

Bu denklem sonsuz sayıda denklemler kümesini temsil eder.

Euler bu denklemlerden birinin çözümünün olmadığını ispat ettikten sonra, bu sonucu diğer bütün denklemleri kapsayacak şekilde genişletmenin bir yolu olup olmadığını sordu kendine, tıpkı ağ probleminde olduğu gibi.

İspata Fermat’nın notlarından keşfettiği bir ipucu ile başladı. Gerçi Fermat ispatı hiçbir yere yazmamıştı ancak Arithmetika’nın bir kenarına teoremin özel bir şıkkı olan n=4 için bir ipucu bırakmıştı. Fermat “sonsuz iniş yöntemi”ni kullanarak n=4 için denklemin çözümü olmayacağını ispat etmişti. İpucundan bu çıkıyordu. İşte Euler’de bunu kullanarak diğer şıklar için denedi. Kısa bir süre sonra n=3 için bunu göstermeyi başardı. Böylece tam 100 sene sonra ilk defa bir matematikçi Fermat’nın Son Teoremi için bir ilerleme kaydetmişti. Euler bunu ispat etmek için sanal sayı olan acayip bir kavrama baş vurmuştu ki bu 16. yy’da keşfedilen yeni bir şeydi. Bu muazzam bir başarıydı ancak Euler bu başarıyı diğer seçenekler için bir türlü gösteremedi. Tüm denemeleri hep sonuçsuz kalmıştı. Tarih’te matematiğe katkısı herkesten daha fazla olan bu adam Fermat’nın Son Teoremi karşısında aciz kalmıştı. Tek tesellisi ise dünyanın bu en zor probleminin çözümü yönünde ilk hamleyi gerçekleştirmiş olmasıydı.

Euler bu başarısızlıktan yılmadı , öldüğü güne kadar parlak matematik buluşlarına devam etti. Son yıllarda tamamen kör olması bu gerçeği daha da şaşırtıcı kılmaktadır. Görme duygusnu kaybetmesi 1735′lere denk düşer. O yıl Paris Akademisi bir astronomi probleminin çözümü için ödül koymuştu. Soru o kadar karmaşık görünüyordu ki, matematikçi çevresi Akademiden çözüm için Birkaç ay süre talep etti. Ancak Euler için bu gereksizdi. Kafasını bu işe taktı, üç gün hiç durmadan çalıştı ve sonunda hak ettiği ödülü aldı. Ne var ki yaşadığı stres ve kötü çalışma koşulları onun gözlerinden birine mal olmuştu.

Bu aşamadan sonra Büyük Friedrich sarayına Euler’in yerine Lagrange’ı getirdi ve Euler Rusyaya geri dönmek zorunda kaldı. Orada Büyük Katerina kendisine sahip çıktı ve bu “matematiğin tek gözlü devi”ni memnuniyetle karşıladı.

Bir gözünü kaybetmesi onun için bir engel değildi. “Artık daha az sapmayla bakacağım” diyordu. Kırk yıl sonra, yani 60 yaşlarındayken durumu hızla kötüleşti. Sağlam gözünde katarakt başlamıştı ve kendisi olacakları tahmin edebiliyordu. Fakat bu da kendisini yıldırmadı, sağlam gözünü yumarak antrenmanlara başladı. Bir süre sonra sağlam gözü de kör olmuştu. Yaptığı hazırlıklar bir süre işe yaradı ancak Birkaç ay sonra yazısı okunmayacak hale gelince oğlu Albert kendisine yardım etmeye başladı, onun söylediklerini yazıyordu.

Euler bu halde 17 yıl daha matematikle uğraştı ve öncekinden daha verimli oldu. Muazzam zekası kağıt kalem olmadan kavramlarla oynamasına izin veriyor, inanılmaz belleği sayesinde de beyni bir tür zihinsel kütüphane gibi işliyordu. Ay’ın evrelerine ilişkin hesaplamaları bu kör olduğu dönemde yaptığı da kayda değer bir olgudur.

Kaynak: Fermat’nın Son Teoremi, Simon Singh,Çev:Sabir Yücesoy,Pan Yayıncılık.

Kaynak: http://www.antrak.org.tr/gazete/032005/ta2ee-1.html

Altın oran kavramı ve bu kavramın gizemi nedir diye düşündüğünüz olmuştur. Belki de bu kavramı ilk defa duymuşsunuzdur. Peki, nedir altın oran, nereden çıkmıştır, pratik hayatta kullanımı var mıdır? Doğada rastlanan bir kavram mıdır, yoksa öylesine ortaya atılmış, zorlama ve yapay bir kavram mıdır?

Matematik de diğer bilim dalları ve disiplinler gibi kötü niyetli ellerde tehlikeli bir oyuncak haline getirilebilir. Düzenbaz falcıların sudan, kahve telvesinden ya da fasulyeden gelecek öngörüleri oluşturmaları gibi, matematik de, din kitaplarından şifreler, Nostradamus manzumelerinden kıyamet günü için tarih hesapları ortaya çıkartmakta kullanılabilir. Bir bıçağı ile ekmek kesmek için kullanabileceğiniz gibi insan öldürmek için kullanabilirsiniz örneğinde olduğu gibi. Altın Oran kavramı bu tür istismarlarda da kullanılabilecek bir konu mudur? Yoksa bilimsel bakış açısıyla ele alındığında anlamlı sonuçlara ulaşmamızda faydası var mıdır, gibi soruları aklımızın bir köşesinde tutmakta fayda var. Şimdilik bu tür şüphecilikleri akıl süzgeçlerimize bırakmak ve konuyu ele almak en iyisi sanıyorum.

2004 senesi içinde yıldızı parlayan yazar Dan Brown’ın Da Vinci Şifresi isimli sürükleyici romanında işlenen pek çok alt konudan biri de altın orandı. (13. basım, bölüm 20 sf: 104-112) Diğer adıyla Fibonacci dizilimi ve Phi sayısı. Aslında tarih boyunca bilinen kullanılan Altın Oran kavramına bir kere daha dikkat çekilmesi romanın iyi yönlerinden biriydi. Konuya ilgi çekilmesi ise geniş kitlelerin binlerce yıldır bir unutulup bir hatırlanan bu kavram hakkında oluşturduğu merak ise romanın iyi yönlerinden biri olarak görülebilir şüphesiz.

Bu çalışmanın çıkış amacı, altın oran ile ilgili verileri ve bulguları mümkün olan en objektif ölçüler içerisinde ortaya koymaktır. Altın oran kavramını ileri sürerek herhangi bir ideolojik söylemi desteklemek ya da kanıtlamak gibi bir amacı bulunmamaktadır.

Çeşitli kaynaklar altın oran konusunu bu şekilde ideolojik söylemlerine destek olarak amaçları doğrultusunda kullanmaktan çekinmemişlerdir. Çalışma için yapılan araştırma sırasında bu tür kaynakların benzeri deformasyonları ayıklanmıştır.

Çalışmada deforme edilmiş iddialar yerine nesnel veri ve bulgular ele alınarak gerçeklerin ortaya konulmasına gayret edilmiştir.

Altın Oran Nedir?

Altın oran, 1 sayısına eklendiğinde kendi karesine eşit olan iki sayıdan biridir. Altın oran 1,618033…. olarak devam eden ondalık sayıdır. 1 sayısına eklendiğinde kendi karesine eşit olan diğer sayı da – 0,618033… olarak devam eden ondalık sayıdır.

Altın orana ilişkin matematik bilgisi ilk kez İ.Ö. 3. Yüzyılda Öklidin Stoikheia (“Öğeler”) adlı yapıtında “aşıt ve ortalama oran” adıyla kayda geçirilmiştir. Eldeki veriler,bu bilginin geçmişinin aslında Eski Mısırda İ.Ö. 3000 yılına kadar dayandığını göstermektedir. Grek dünyasına da Pythagoras ve Pythagorascular tarafından tanıtıldığı ileri sürülür.

Kısaca altın orana “göz nizamının oranı” diyebiliriz.

Tarihte görülebileceği gibi Sanatçılar bu özelliği kullanıp göze güzel görünen eserler meydana getirmişlerdir. Örneğin Mona Lisa tablosunun boyunun enine oranı altın oranı verir. Mona Lisa’nın yüzünün etrafına bir dikdörtgen çizdiğinizde ortaya çıkan dörtkenar bir altın dikdörtgendir. Bu dikdörtgeni, göz hizasında çizeceğiniz bir çizgiyle ikiye ayırdığınızda yine bir altın oran elde edersiniz. Resmin boyutları da altın oran oluşturmaktadır.

M.Ö. 500lü yıllarda yaşamış olan tüm zamanların en büyük matematikçilerinden biri olan Pisagor (Pythagoras), altın oranla ilgili aşağıdaki düşüncelerini dile getirmiştir:

“Bir insanın tüm vücudu ile göbeğine kadar olan yüksekliğinin oranı, bir pentagramın uzun ve kısa kenarlarının oranı, bir dikdörtgenin uzun ve kısa kenarlarının oranı, hepsi aynıdır. Bunun sebebi nedir? Çünkü tüm parçanın büyük parçaya oranı, büyük parçanın küçük parçaya oranına eşittir.” (Eğer normal bir pentagonun AB kenarlarını içersine çizilecek bir pentagramın AC uzunluğu ile karşılaştırırsak uzunluğunu Ø = (1 + √5)/2 = 2cos(p/5) = 1.61803… olarak buluruz yani altın oran sayısı.)

Altın oranın gizeminin ne olduğunun cevabı, Fibonacci lakaplı İtalyan matematikçinin bulduğu bir dizi sayıda gizlidir. Fibonacci sayıları olarak da adlandırılan bu sayıların özelliği, dizideki sayılardan her birinin, kendisinden önce gelen iki sayının toplamından oluşmasıdır.

Leonardo Pisano ya da takma adıyla Fibonacci Kimdir?

Orta çağın en büyük matematikçilerinden biri olarak kabul edilen Fibonacci İtalya’nın ünlü Pisa şehrinde kesin olarak bilinmemekle birlikte 1170 yılında doğmuştur. Çocukluğu babasının çalıştığı Cezayir’de geçmiştir. İlk matematik eğitimini Müslüman bilim adamlarından almış ve İslam uygarlığının kitaplarını incelemiş ve üzerlerinde çalışmıştır.

1201 yılında “Liber Abacci” (cebir kitabı) adında bir matematik kitabı yazmıştır. Arap rakamlarını ve bugün kullandığımız sayı sistemini Avrupa’ya tanıtmıştır. Bu kitapta, ilkokulda öğrendiğimiz temel matematik (toplama, çarpma, çıkartma ve bölme) kurallarını birçok örnek vererek anlatmıştır. Dönemi için Avrupada bilinmemekle birlikte bu kadim bilgilerin matematikte bir sıçrayış için başlatıcı etkiyi yapmış olduğunu ileri sürmek yanlış olmaz. Avrupa unutulan bilgileri Fibonacci sayesinde yeniden hatırlamıştır.

Fibonacci Sayıları: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584,…

Fibonacci dizisinde bir sayıyı kendinden önceki sayıya böldüğünüzde birbirine belirgin şekilde yakın sayılar çıkar. Serideki 13. sırada yer alan sayıdan (233) itibaren bu sayı sabitlenir.

ALTIN ORAN = 1,618
233 / 144 = 1,618
377 / 233 = 1,618
610 / 377 = 1,618
987 / 610 = 1,618

Altın Oran (golden ratio, the golden ve divine proportion olarak da bilinen golden section), Fibonacci sayılarına ait bir özelliktir. Sanatta, doğa da hatta yaşayan organizmalar da bile görünen bu ilgi çekici oran çoğu kişi tarafından yüce bir Yaratıcı’nın varlığının ispatı olarak görülür. Yaratıcının varlığının ispat edilmesinin gerekip gerekmediği tartışmasını konu dışı olması nedeniyle bir yana bırakıyorum.

Fibonacci diziliminin genel olarak anlamı: ”Dizideki bir sayıyı kendinden önceki sayıya böldüğünüzde birbirine çok yakın sayılar elde edersiniz. Hatta serideki 13. sırada yer alan sayıdan (233) sonra bu sayı sabitlenir. İşte bu sayı ‘altın oran’ olarak adlandırılır”

Bildiğimiz p Pi sayısı gibi belli bir sıradan sonra yani 13. sıradan sonra sabitleşen Altın oran 1.61803398874989…a eşittir. Yunan alfabesinden gelen F PHi ile sembolize edilir.

İnsan bedeni

İnsan bedenine bağlı beş belirgin parça vardır. Bunlar iki kol iki bacak ve kafadır. Aynı zamanda kollar ve bacaklara bağlı el ve ayaklarda beşer tane parmak bulunmaktadır. Ayrıca yüzümüzde de dışarıya açılan 5 nokta bulunmaktadır. Bunlar iki göz iki burun deliği ve ağızdır. 5 sayısının da phi ile ilginç bir bağlantısı bulunmaktadır.

Buradaki 5 sayıları aşağıdaki şekilde bizi phi sayısına ulaştırır.

5^0.5 * .5 + .5 = Ø

İnsan İşaret Parmağı

Elinizin işaret parmağınızın şekline bir bakın. Eğer standartlar dışında bir yapısı yoksa parmağınızda da altın oranı bulabilirsiniz.

Şekilde işaret parmağınızın her bölümü bir öncekinden 1,618…( yani altın oranın değeri ) kadar büyüktür ve üstteki cetvele dikkat ederseniz her bölüm 2, 3, 5, 8 e yani ardışık fibonacci sayılarına karşılık gelmektedir. Şekilde pembe, yeşil, sarı ve mavi çizgiler altın oranı gösterir.

İnsan Yüzü

Şekildeki resimde de gördüğünüz gibi kafa bir altın dikdörtgenin içinde. Kulaklar arasındaki mesafe, gözle üst dudak arasındaki, burnun altı ile çene arasındaki mesafe (resimde mavi çizgi ile gösterilmiş) hep altın oran içermektedir. Resmi incelerseniz daha başka altın oranlar da görebilirsiniz. Bunlarda sarı ve yeşil çizgilerle gösterilmiştir.

Örneğin üst çenedeki ön iki dişin enlerinin toplamının boylarına oranı altın oranı verir. İlk dişin genişliğinin merkezden ikinci dişe oranı da altın orana dayanır. Bunlar bir dişçinin dikkate alabileceği en ideal oranlardır.

Akciğerler

Amerikalı fizikçi B. J. West ile doktor A. L. Goldberger, 1985-1987 yılları arasında yürüttükleri araştırmalarında, akciğerlerin yapısındaki altın oranının varlığını ortaya koydular. Akciğeri oluşturan bronş ağacının bir özelliği, asimetrik olmasıdır. Örneğin, soluk borusu, biri uzun (sol) ve diğeri de kısa (sağ) olmak üzere iki ana bronşa ayrılır. Ve bu asimetrik bölünme, bronşların ardışık dallanmalarında da sürüp gider. İşte bu bölünmelerin hepsinde kısa bronşun uzun bronşa olan oranının yaklaşık olarak 1/1,618 değerini verdiği saptanmıştır.

Kalp Atışları

Arayınca altın oranı kalp atışlarında bile bulmak mümkün.

Kulağa biraz zorlama gibi gelse de ekg görüntüsünü bir kontrol edin.

Kalp bu resme göre Phi sayısına uygun atıyor ancak emin olabilmek için başka bir ekg bulup denemesi mümkün tabii.

MimariTürk mimarisi ve sanatı da altın orana ev sahipliği yapmıştır. Mimar Sinan’ın da birçok eserinde altın oran görülmektedir. Mesela Süleymaniye ve Selimiye Camileri’nin minarelerinde bu oran görülmektedir. Türk mimarisi ve sanatı da altın orana ev sahipliği yapmıştır: Konya’da Selçukluların inşa ettiği İnce Minareli medresenin taç kapısı, İstanbul’daki Davut Paşa Camisi, Sivas’ta Mengüçoğulları’dan günümüze miras kalan Divriği Külliyesi genel planlarından kimi ayrıntılarına dek altın oran kendini göstermektedir.

Eski Yunan Uygarlığında da altın dikdörtgen birçok yapıda kullanılmıştır. Bunlardan biri de Atina’daki Partenon’dur. Partenon İ.Ö. 430 ve ya 440 yıllarında tanrıça Athena için yapılmıştır. Tapınağın orijinal planları elimizde olmasa da, tapınağın uzunluğu genişliğinin kök 5 katı olan bir dikdörtgen üzerine inşa edildiği anlaşılmaktadır. Ayrıca tapınakta daha başka altın dikdörtgenler de göze çarpmaktadır (altın dikdörtgen kenarları oranı altın oran olan dikdörtgenlerdir).

Altın oran sadece Yunanlılar tarafından kullanılmamıştır. Mısır’daki Keops piramidinde, Paris’in ünlü Notre Dame Katedralinde altın oranın izlerini görmek mümkündür.

Leonardo da Vinci (1452-1519) eserlerini altın orana uyarak gerçekleştirmiştir. Günümüz mimarlarının üstadlarından olan Ernst Neufert altın oranı kullanmıştır.

Altın Dikdörtgen

Şekilde gördüğünüz dikdörtgen biraz amatörce çizilmiş de olsa altın bir dikdörtgendir. Dolambaçlı model (meander pattern) olarak adlandırılan bu çizim doğada pek çok yerde karşımıza çıkabilir. Hatta hemen deneyebilirsiniz işaret parmağınızı kıvırın ve çıkan şekle bakın. Şekilde altın dikdörtgende ortaya çıkan altın oranı rahatça görebilirsiniz.

Bitkiler

Ayçiçeğinde yer alan ayçekirdekleri saat yönünde 55 adet buna karşılık saat yönünün tersine 89 adet ayçekirdeği tanesi bulunur. 89/55=1.618 Sanırım artık sürpriz olmuyor J

Papatyalar da büyürlerken her dal Fibonacci serisine uyarak yükselmektedir.

Çam Kozalakları

Çam kozalaklarında saat yönünde 5 sıra varken ters yönde 8 sıra yer alır. 8/5=1.6 sayısını verir ki sanırım bu da phi sayısına oldukça yakın bir değer.

Nautilus Pompilius

Evrimin ilk aşamalarından beri değişmeden aynı büyüme şeklini izleyen kabuklu deniz hayvanlarının büyüme şekilleri ilgi çekicidir. Milyonlarca yıllık fosillerde de günümüzde de karşılaştığımız bu bildik şekil deniz kabuklarının büyümeleri altın oranı karşımıza çıkartır.

İşitme ve Denge Organı

İnsanın iç kulağında yer alan Salyangoz cisimciği ses titreşimlerini beyne aktaran bir sistemin parçasıdır. Bu ilginç organımız da, altın orana uyan salyangoz yapısındadır.

DNA

DNA molekülü tüm yaşamın programını taşımaktadır. Temelinde de altın oran bulunmaktadır. Her tam turunda 34 angstrom uzunluğunda ve 21 angstrom genişliğindeki çift heliks spiral yapısı ile tabi ki altın oranı bünyesinde bulundurmaktadır. 34/21= 1.619 sayısını bulmaktadır. Malum sayımız 1.618 yani phi sayısına ne kadar da yakın öyle değil mi?

Evren

Gezegenlerin birbirlerine olan uzaklıklarından tutun da, Satürnün halkalarına hatta evrenin kendi şekline kadar phi sayısı tekrar tekrar kendini gösterir.

Yeni buluşlar göstermiştir ki evrenin şekli bir dodecahedrondur (12 yüzü eşkenar beşgenlerden (pentagon) oluşan bir yapı ki bu da temelinde phi sayısı olan bir yapı olarak kendini gösterir.

Sonuç

Altın oran ile ilgili somut birtakım veriler ve ortaya çıkan gerçek durum söz konusudur. Yazı boyunca anlatılan örneklerde neredeyse baktığımız her yerde görme imkânımız bulunan altın oran için yapılabilecek bir yorum kaosun da bir düzeninin olabileceğidir.

Gerisi ise, insanı düşünceye daldırıp, götürür.

KAYNAKLAR

http://matlab.s5.com/altin%20oran.htm
http://www.hardwaremania.com/forum/showthread.php?t=13957
http://www.antoloji.com/nedir/g.asp?terim=2462
http://www.world-mysteries.com/sci_17.htm
http://www.mathwright.com
http://goldennumber.net
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Fibonacci.html

http://www.cerritos.edu/jmadden/intro/Fibonacci_files/Fibonnaci%20Page.htm