Doğum Günü Paradoksu

Aslını söylemek gerekirse bu bir paradoks değildir fakat sezgiye en ters düşen olasılık problemlerinden biri olduğu için bu şekilde adlandırılır olmuş diyebiliriz. Hemen konumuza geçelim.

23 kişilik bir grup olduğunu düşünün. Bu 23 kişiden herhangi ikisinin aynı günde doğmuş olma ihtimali sizce kaçtır.  İnsanların aklına genelde ilk olarak düşük bir ihtimal geliyor. Daha sonra cevabı duyduklarında ise çok şaşırdıkları için sanki ortada bir paradoks varmış gibi düşünülüyor. Akla düşük bir ihtimal gelmesi normal gibi çünkü insan sayısı 23, doğum günü olabilecek gün sayısı ise 365 olduğunda göre, aynı doğum gününün paylaşılıyor olması çok az muhtemel görünüyor. Bir tahmin yapması istenecek kişilerin çoğu, buna bakarak en fazla %10 derlerdi. Oysa doğru cevap %50′den biraz fazla. Yani olasılık hesabına göre bu 23 kişilik gruptan herhangi iki kişinin aynı günde doğmuş olma ihtimali, böyle olmaması ihtimalinden biraz daha yüksek.

Bu yüksek olasılığın nedeni şu: Kişi sayısından çok, bu kişilerin kaç şekilde eşleştirilebileceği önemli. Ortak doğum günü arıyorsak bireylere değil insan çiftlerine bakmalıyız. Bu grupta gerçi sadece 23 kişi var ancak insan çifti sayısı tam 253. Örneğin ilk ilk kişi diğer 22 kişiden herhangi biriyle eşleşebilir, böylece elde daha baştan 22 eşleşme var demektir. Sonra ikinci kişi de geri kalan 21 kişi ile işleşebilir (bu ikincinin birinci kişiyle eşleşme durumunu saymıştık, dolayısıyla olası eşleşmelerin sayısı bir azaldı). Böylece hesaba 21 eşleşme daha eklendi. Üçüncü kişiye gelince, o da geri kalan 20 kişiden herhangi biriyle eşleşebilir, etti 20 eşleşme daha. Hesaplamayı bu şekilde devam ettirdiğimizde, 253 olası çift olduğu sonucuna varırız. Gruptaki sayı 23 olduğunda bu şekilde, eğer sayı 23 değil de 30 olursa aynı doğum gününü paylaşma olasılığı daha da artıyor.

n   —>    p(n)
10 —>   12%
20 —>   41%
30 —>   70%
50 —>   97%
100 —>  99.99996%
200 —>  99.9999999999999999999999999998%
365′e eşit veya büyük olduğunda %100.

Görüldüğü gibi sayı 50 olduğunda çok yüksek bir ihtimalle aynı doğum gününü paylaşan iki insan bulunmakta. Sayı 100 olduğunda ise neredeyse bu kaçınılmaz oluyor. 365′e eşit ve büyük olduğunda ise durum %100 oluyor. Peki bu hesap nasıl yapılıyor?

Meseleye tersten yaklaşalım. Eğer grupta iki insan olsaydı bunların aynı doğum gününü paylaşma ihtimali 1/365 veya yaklaşık olarak 0.003 olur. Eğer grupta 3 insan olursa en az ikisinin aynı doğum gününü paylaşma olasılığı kaç olur? Bunu bulurken şunu anlamalıyız: Bu 3 kişiden en az ikisinin aynı günde doğma ihtimali + 3 kişinin de farklı günde doğmuş olma ihtimali = 1′dir.Yani

P(en az iki kişinin aynı günde doğma ihtimali ) = 1 - P(üç kişinin de farklı günde doğma ihtimali)

Hepsinin farklı günde doğmuş olma ihtimali (364/365).(363/365) ‘tir. Haliyle en az iki kişinin aynı günde doğmuş olma ihtimali ise 1 - (364/365).(363/365) olacaktır, yani yaklaşlık olarak 0.08. Buradan şunu görürüz ki eğer grupta 365 kişi olursa mutlaka en az iki kişinin doğum günü aynı olacaktır.

Peki en az iki kişinin aynı günde doğmuş olma ihtimalinin %50 olması için grupta kaç insan olmalı? Yukardaki hesabı biraz genelleyelim.

p[1] = 1 - (365/365) =0

p[2] = 1- (365/365).(364/365)

p[3] = 1- (365/365).(364/365).(363/365)

p[4] = 1- (365/365).(364/365).(363/365).(362/365)

.

.

k kişi sayısı ise genel hesapmala yolu;

p[k] = 1 - 365! / ((365-k)!365^k) olur. İşte bazı k ve p[k] değerleri.

k    p[k]

1    0
2    0.00274
3    0.00820
4    0.0164
5    0.0271
6    0.0405
7    0.0562
8    0.0743
9    0.0946
10    0.117
11    0.141
12    0.167
13    0.194
14    0.223
15    0.253
16    0.284
17    0.315
18    0.347
19    0.379
20    0.411
21    0.444
22    0.476
23    0.507
24    0.538
25    0.569

Buradan da görüldüğü gibi ihtimalin %50 olabilmesi için 23 kişilik bir grup yetmekte. Şaşırtıcı değil mi?

Bu yazıları RSS beslemesi ile takip edin